Хар.функция и плотность

[novichok2018]

Мне кажется, проекторы на все 4 собственные подпространства находятся в явном виде, но я уже забыл. Это что-то вроде комбинации степеней Фурье, а их всего 4.

[mihaild]

Ну проектор на собственное подпространство, отвечающее $1$, равен $\frac{\mathcal F + \mathcal F^2 + \mathcal F^3 + \mathcal F^4}{4}$ (и то же самое проходит для любого диагонализируемого оператора, собственные значения которого - конечное число корней из единицы).

[novichok2018]

Спасибо. Так что проекторы найти несложно как раз. Ну и упростить выражение для проектора можно немного. Вроде это и есть общая формула для класса функций с искомым свойством, причём без использования функций Эрмита.

[svv]

mihaild в сообщении #1474083 писал(а):

А не из полноты?

Конечно, полнота нужна, она позволяет разложить $f(x)\in L^2$ по $\{\psi_n(x)\}$.
Теперь, если $\mathcal Ff=f$, т.е.
$\sum c_{4n}\psi_{4n}+i\sum c_{4n+1}\psi_{4n+1}-\sum c_{4n+2}\psi_{4n+2}-i\sum c_{4n+3}\psi_{4n+3}=\sum c_{4n}\psi_{4n}$,
то все $c_{4n+1}=c_{4n+2}=c_{4n+3}=0$ из линейной независимости.
А линейная независимость из ортогональности.

[alisa-lebovski]

Интересно, что первоначально задача давалась преподавателем как учебная. Предполагалось, что студенты найдут первое решение (и они находили). О других решениях не задумывался и преподаватель.

Видимо, и Феллер о них не задумывался, потому что пишет только о двух примерах (том 2, с. 564).

[novichok2018]

Выражу несколько иначе утверждение mihaild, аналогично можно явно найти проекторы у любого линейного оператора со свойством $A^n=I, \ n\in\mathbb{N}$, $I$ -единичный оператор. У такого оператора так же явно можно найти и резольвенту.
В рассматриваемой задаче получается такой ответ: если функция представима в виде

$$ f(x)=g(x)+Fg+g(-x)+F^{-1}g, $$

с некоторой функцией $g(x)\in L^2(\mathbb{R})$, то $Ff=f$.
Похоже вместо "если" можно утверждать "тогда и только тогда". И чтобы удовлетворить первоначальному соотношению, нужно сделать линейную замену в ответе, как здесь было указано.
Всё?

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1474143 писал(а):

Похоже вместо "если" можно утверждать "тогда и только тогда".

Да, возьмем $g = \frac{f}{4}$.

novichok2018 в сообщении #1474143 писал(а):

Всё?

Нам же не любые собственные функции подходят, а только неотрицательные на прямой (в единицу можно нормировать).

[novichok2018]

Неотрицательные, нормированные - да. А зачем 1/4? Вроде на константу всё можно умножить, не зависит?

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1474157 писал(а):

А зачем 1/4?

Вы написали некоторое уравнение на $f$ и $g$ (и хочется чтобы оно было разрешимо относительно $g$ тогда и только тогда, когда $\mathcal F f = f$). Если $\mathcal F f = g$, то это уравнение выполнено при $g = \frac{f}{4}$.

[novichok2018]

Разве соотношение $Ff=f$ не сохраняется при умножении функции на произвольную постоянную?
Поэтому проектор тоже можно умножать на произвольную постоянную, нет?
А $Ff=g$ вроде не должно выполняться, или как?

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1474160 писал(а):

Разве соотношение $Ff=f$ не сохраняется при умножении функции на произвольную постоянную?

Сохраняется. Но у вас было другое соотношение:

novichok2018 в сообщении #1474143 писал(а):

$$f(x)=g(x)+Fg+g(-x)+F^{-1}g$$

Если это соотношение выполнено для какой-то $g$, то $\mathcal F f = f$. У вас был вопрос, верно ли обратное - если $\mathcal F f = f$, то это соотношение выполнено для какой-то $g$. Ответ - да, верно, можно взять $g = \frac{f}{4}$. А вот $g = f$ взять нельзя, потому что тогда справа получится $4f$, а не $f$.

[novichok2018]

Теперь понял, спасибо.