2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геодезические
Сообщение13.07.2020, 07:34 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Наверняка боян и есть в каком-нибудь учебнике. Пусть $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция на римановом многообразии такая, что $|\nabla f|=1$. Доказать, что поток векторного поля $\nabla f$ состоит из геодезических

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические
Сообщение13.07.2020, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
20/04/25
12999
pogulyat_vyshel в сообщении #1473538 писал(а):
Пусть $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция на римановом многообразии такая, что $|\nabla f|=1$. Доказать, что поток векторного поля $\nabla f$ состоит из геодезических
Примем $f$ за одну из координат, а дальше как во втором томе Ландау и Лифшица (§97 Синхронная система отсчёта).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические
Сообщение15.07.2020, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Пусть $\mathbf u=\nabla f$. Тогда
$u_{i:k}=f_{:ik}=u_{k:i}$
$(\nabla_{\mathbf u} \mathbf u)_i=u_{i:k}u^k=u_{k:i}u^k=\frac 1 2 (u_k u^k)_{:i}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические
Сообщение15.07.2020, 17:48 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ну я тоже уравнение геодезических писал, но в координатах, в которых поле $\nabla f$ выпрямлено, а это как-то совсем просто

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические
Сообщение24.07.2020, 16:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Задачка, как я понимаю, из оптики

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические
Сообщение24.07.2020, 19:27 


20/03/14
12041
 !  Флуд отделен.
Sicker, если у Вас есть осмысленный вопрос, еще раз его осмыслите и обратитесь в ПРР.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group