Как измеряют красное смещение галактик?
По измерению смещения спектральных линий. Если вы хотели увидеть что-то более детальное, напишите, что именно.
Возможно ли астроному-любителю самостоятельно исследовать и выявить скорость удаления галактик?
Смотря что под этим понимать. Скачать спектр из какого-нибудь SDSS, вручную его обработать и оценить красное смещение - можно (хотя это и неэффективно). Лично получить этот спектр с разумными усилиями и финансами - нет, нужен слишком крупный инструмент и качественное спектральное оборудование.