Уравнения графиков в полярных координатах

[Solaris86]

Известна связь координат точки в декартовой системе координат и в полярной системе координат:
$y = r\sin\varphi$
$x = r\cos\varphi$
Условия: $r \geq 0$ и $-\pi < \varphi \leq \pi$.
Я могу выразить любой график из декартовой системы координат в полярной системе координат (в явном или неявном виде) через эти подстановки?
Например:
1. Прямая:
В декартовой системе координат: $y = kx + b$
В полярной системе координат: $r\sin\varphi = kr\cos\varphi + b \Rightarrow r = |\frac{b}{\sin\varphi-k\cos\varphi}|$
2. Парабола:
В декартовой системе координат: $y = ax^2 + bx + c$
В полярной системе координат: $r\sin\varphi = ar^2\cos^2\varphi + brcos\varphi + c$ - только в неявном виде.

[nnosipov]

Solaris86 в сообщении #1473876 писал(а):

В полярной системе координат: $r\sin\varphi = ar^2\cos^2\varphi + brcos\varphi + c$ - только в неявном виде.

Если выбрать полярную систему координат правильно, то уравнения параболы (а также эллипса и гиперболы) будут явными. Не нужно так себя ограничивать, требуя, чтобы обе системы координат имели одно и то же начало.

[EUgeneUS]

Solaris86
Что такое график?

[nnosipov]

Solaris86 в сообщении #1473876 писал(а):

Я могу выразить любой график из декартовой системы координат в полярной системе координат (в явном или неявном виде) через эти подстановки?

В принципе, да.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1473879 писал(а):

Что такое график?

Геометрическое представление функции.

[EUgeneUS]

Solaris86
А что такое функция?

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1473882 писал(а):

Solaris86
А что такое функция?

Зависимость одних переменных от других.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1473885 писал(а):

Зависимость одних переменных от других.

Нет. Посмотрите более точное определение.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1473887 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1473885 писал(а):

Зависимость одних переменных от других.

Нет. Посмотрите более точное определение.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1473888 писал(а):

соответствует один и только один элемент второго множества.

ОК.

1. Нарисуем окружность в полярных координатах. $r = R \varphi$. Очевидно, это - график функции, так как каждому значению $\varphi$ соответствует ровно одно значение $r$.
2. Теперь нарисуем ту же окружность в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = R^2$. Вопросы: является ли она графиком функции? если да, то какой?

[Lia]

EUgeneUS

EUgeneUS в сообщении #1473892 писал(а):

Нарисуем окружность в полярных координатах. $r = R \varphi$.

Это не окружность.

[EUgeneUS]

Lia в сообщении #1473895 писал(а):

Это не окружность.

Да, конечно.
Должно быть так $r = R$

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1473892 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1473888 писал(а):

соответствует один и только один элемент второго множества.

ОК.

1. Нарисуем окружность в полярных координатах. $r = R \varphi$. Очевидно, это - график функции, так как каждому значению $\varphi$ соответствует ровно одно значение $r$.
2. Теперь нарисуем ту же окружность в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = R^2$. Вопросы: является ли она графиком функции? если да, то какой?

Ну, я думаю, график окружности в декартовых координатах - это график кусочной функции, состоящей из двух функций:
1. $y = \sqrt{R^2-x^2}$ для $y \in [0; R]$
2. $y = -\sqrt{R^2-x^2}$ для $y \in [-R;0)$

[EUgeneUS]

Solaris86
Вы правы, что окружность, можно представить как объединение графиков двух функций в декартовых координатах. Но после этого графиком какой-то функции $y(x)$ это уже не будет, так как не будет однозначного соответствия $x \to y$.

Если подвести итог, Ваше утверждение:

Solaris86 в сообщении #1473876 писал(а):

Я могу выразить любой график из декартовой системы координат в полярной системе координат (в явном или неявном виде) через эти подстановки?

Верно для кривых, (и вообще, для любых множеств точек на плоскости), но не для графиков функций. Так как одна и та же кривая в декартовых координатах может быть графиком функции $y(x)$, а в полярных может не быть графиком функции $r(\varphi)$, и наоборот.

[Solaris86]

Понял. Благодарю.
По этой же теме вопрос (фрагмент из учебника Письменного):

Во-первых, я так понимаю, что в подчёркнутых местах вместо $D$ должно быть $D^*$?
Во-вторых, почему область $D^*$ - это прямоугольник?