Помогите получить верхнюю оценку этой суммы (вероятности)

[novichok2018]

Если бы все биноминальные были хорошо определены, то похоже, что выражение

$$ \frac{ \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}} \right)} $$

по индексу суммирования монотонно убывает. Тогда сразу пишутся оценки сверху и снизу.
Но мешаются отрицательные значения $(i-q)$. Как их учесть?

[abs135]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!
На днях разложил бином, получилось следующее.
Обозначив $\alpha_i=\dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}}$, $\beta_i=\binom ni p^i {(1-p)}^{n-i}$, $\gamma=\sum_{i=0}^n{\alpha_i \beta_i}$, преобразуем исходное выражение к виду

$$P(A)=\sum_{i=0}^n{(1-\alpha_i)^I \beta_i}$$

откуда, раскрывая скобки, получим

$$P(A)=\sum_{j=0}^I{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{(-\alpha_i)}^j \beta_i}}.$$

Разделим сумму на две части по четным и нечетным $j$:

$$P(A)=P_{1}(A) + P_{2}(A),$$

где $P_{1}(A)=\sum_{j \text{ четн}}{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^j \beta_i}}$ и $P_{2}(A)= - \sum_{j \text{ нечетн}}{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^j \beta_i}}.$

В силу неравенства Йенсена часть $P_{2}(A)$ не превышает

$$P_{2}(A)\leq - \sum_{j \text{ нечетн}}{\binom Ij \gamma^j}=\frac{(1-\gamma)^I - (1+\gamma)^I}{2}.$$

В свою очередь, для $P_{1}(A)$ справедлива следующая цепочка неравенств

$$ P_{1}(A) = \binom {I}{0} \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^0 \beta_i} + \sum_{j \text{ четн}, j \geq 2}{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^j \beta_i}}$$

$$ = 1 + \sum_{j \text{ четн}, j \geq 2}{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^j \beta_i}}$$

$$\leq 1 + \sum_{j \text{ четн}, j \geq 2}\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^1\beta_i}$$

$$ = 1 + \sum_{j \text{ четн}, j \geq 2} {\binom Ij \gamma}$$

$$ = 1 + \gamma(2^{I-1} - 1)$$

таким образом, для выражения в совокупности справедлива верхняя оценка

$$P(A)\leq (1-\gamma) +\frac{\gamma2^{I} - (1+\gamma)^I + (1-\gamma)^I}{2}.$$

Слагаемое $\frac{\gamma2^{I} - (1+\gamma)^I + (1-\gamma)^I}{2}$ равно $0$ для $I=1,2$, после чего становится положительным, так что оценка чуть лучше, чем ничего . Причина этого в грубой замене

$$\sum_{j \text{ четн}, j \geq 2}{\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^j \beta_i}} \leq \sum_{j \text{ четн}, j \geq 2}\binom Ij \sum_{i=0}^n{{\alpha_i}^1 \beta_i}$$

Подкиньте, пожалуйста, идею, как оценить точнее:D