Решить предел исключительно с помощью производных

[eos93]

Ребят,

Подскажите, как решить следующий предел, основываясь исключительно на производных:

$\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{e^{r\cdot lnx}}{x}}$

Значения для $r$ - вещественные и притом положительные, без учета тривиального случая $r=1$.


Мои соображения:
0. Без производных вроде как все ясно:
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{e^{r\cdot lnx}}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{x^{r}}{x}=\lim_{x\to \infty} x^{r-1}= \begin{cases} 0 & \text{если $r$ от $0$ до $1$}\\ \infty & \text{если $r$ больше $1$}\\ \end{cases}} $
1. Правило Лопиталя тут не работает, потому что показательная функция, к сожалению, не перестает рожать $\frac{1}{x}$ при вычислении производного.
2. Также непонятно, как тут может помочь разложение показательной функции в ряд Тейлора.

[StaticZero]

eos93 в сообщении #1473338 писал(а):

основываясь исключительно на производных:

В задаче так и написано прям?

-- 11.07.2020 в 19:38 --

И да, $\ln x$ = \ln x.

[eos93]

Цитата:

В задаче так и написано прям?

Да, так и требовалось, и я никак не пойму, как можно тут производными до решения дойти.

[alisa-lebovski]

Перейдите к отношению обратных величин (к числителю и знаменателю), к неопределенности $0/0$, а там производными по Лопиталю.

[mihaild]

Ну если хочется чесать левое ухо правой пяткой...
Нужно проверить применимость правила Лопиталя, после чего обнаружить, что предел равен себе, умноженному на $r$. Это очень сильно ограничивает количество вариантов, чему он может быть равен.

[eos93]

alisa-lebovski в сообщении #1473361 писал(а):

Перейдите к отношению обратных величин (к числителю и знаменателю), к неопределенности $0/0$, а там производными по Лопиталю.

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{x^2}}{-r \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{r \cdot \frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}}$...

То есть возвращаюсь к исходнику, с некоей константой... Непонятно, что мне дает инверсия числителя и знаменателя.

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}=r \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}}$

Исходя из этого:
1. если предел существует (иными словами, если имеется сходимость), то он равен нулю.
2. если предел расходится к бесконечности, то тоже все в порядке (так как $r>0$)

Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?

К тому же непонятно, как можно соотнести случаи 1. и 2. к соответствующим значениям $r$.

[StaticZero]

eos93 в сообщении #1473364 писал(а):

Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?

У вас уравнение $L = rL$, где $L$ --- предел. Какой там может быть третий случай?

eos93 в сообщении #1473364 писал(а):

Непонятно, что мне дает инверсия числителя и знаменателя.

Так вы не сделали переход к пределу типа $y \to 0+$, как вас просили.

[eos93]

StaticZero в сообщении #1473368 писал(а):

У вас уравнение $L = rL$, где $L$ --- предел. Какой там может быть третий случай?

$L = rL$ было получено на основании предположения о наличии либо сходимости, либо расходимости к бесконечности, как я понимаю. Но это не доказывает, что исходный предел не может иметь третьего случая, то есть когда он ни к чему не стремится.

StaticZero в сообщении #1473368 писал(а):

Так вы не сделали переход к пределу типа $y \to 0+$, как вас просили.

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot {\ln x}}}{x}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{e^{r \cdot {\ln y}}}=\lim_{y \to 0} \frac{1}{r \cdot \frac{1}{y} \cdot e^{r \cdot {\ln y}}}}$...

Извиняюсь за близорукость, но я скорее всего не понимаю, что было предложено сделать.

[StaticZero]

Странная, мягко говоря, задачка. Я ставлю на то, что через Лопиталя вам нужно было получить уравнение $L = r L$. Предлагается ли доказать, кто там сходится, в лоб или ещё как... С этим не знаю, как быть. Я бы плюнул и дальше пошёл.

[mihaild]

eos93 в сообщении #1473364 писал(а):

Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?

Раз вы используете правило Лопиталя для получения уравнения на предел - нужно доказать его применимость, и тогда существование предела исходного выражения получается автоматически. Чтобы доказать существование предела выражения из правила Лопиталя, продифференцируйте его, и проверьте производную на знакопостоянство (функция с знакопостоянной производной всегда имеет предел в бесконечности).

eos93 в сообщении #1473364 писал(а):

как можно соотнести случаи 1. и 2. к соответствующим значениям $r$.

А тут посчитайте производную всей исходной дроби и посмотрите на её знак.

[eos93]

Исходя из очевидности существования производных числителя и знаменателя, правомерно вычислить производную для всех ненулевых значений $x$:

$$\left(\frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}\right)^{\prime}=\frac{r \cdot e^{r \cdot \ln x}-e^{r \cdot \ln x}}{x^2}=(r-1) \cdot \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x^2}$$

Знакопостоянство дроби и смена знака при переходе через $r=1$ очевидны!

Всем большое спасибо (отдельная благодарность к mihaild и StaticZero), ребят, что нашли время и не обделили мою проблему вниманием - задачка была явно не из интересных, так что любой ваш ответ - это в первую очередь проявление вашей отзывчивости.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Если сразу понятно, что речь о $x^n$, то какой смысл удовлетворять этим с ёлки рухнувшим требованиям спортивного характера? Превращаете матан чёрт знает во что...