Конформное отображение

[Asalex]

Уважаемые форумчане,

Пусть

$$w(z) = z(1+g(z)),$$

где $g(.)$ голоморфна в круге $|z|=R,$ с некоторым $R>0,$ и $g(0)=0.$
Достаточно ли этого чтобы отображение $z\mapsto w$ было конформным при $|z|<R?$ Если нет, то какой может быть контрпример?

По-хорошему, оно голоморфно в такой области, где $w'(z)=1+ g(z) + z g'(z)\neq 0.$ Мы можем гарантировать последнее в некотором меньшем диске $|z|<r<R.$ Можно ли сказать что $r=R?$ Если нет, то
можно ли найти такую функцию $g(.)$ чтобы $1+g(z)\neq0$ при $|z|<R,$ но при этом $1+ g(z_0) + z_0 g'(z_0) =0$ в некоторой точке $|z_0|<R?$

Зараннее большое спасибо.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Если нет, то какой может быть контрпример?

Положим $g(z):=z$ и $R:=1$, тогда производная функции $w(z):=z(1+z)$ равна $0$ при $z=-\frac 1 2$. Следовательно, в указанной точке единичного круга нет конформности.

[Asalex]

Точно, спасибо большое!