(In)equality ... [Neravenstva]

[sasa]

(Withous using a computer), prove that

\[ \; \; \left| \dfrac{2n+2}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k}}{{2n\choose k}}- \dfrac{(-1)^n}{{2n+1 \choose n}} \right|\le 1 \; ,\; \; \forall n\in {\mathbb N} . \]

[photon]

I can't understand your denominators. What does $\left( {\begin{array}{*{20}c} {2n} \\ k \\ \end{array} } \right)$ mean?

[juna]

Это общепринятое обозначение биноминальных коэффициентов

[Руст]

Зачем нужна абсолютное значение и неравенство? Величина это просто равно 1.

[sasa]

Руст писал(а):

Зачем нужна абсолютное значение и неравенство? Величина это просто равно 1.

Right ! Prove it !

[Руст]

Я на днях это встретил в международном форуме, точную ссылку не помню.

[RIP]

Поскольку решение так и не было написано, предлагаю всё-таки порешать эту задачу (тем более, что она легкая.) Доказать, что

\[ \dfrac{2n+2}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k}}{{2n\choose k}}- \dfrac{(-1)^n}{{2n+1 \choose n}} = 1 \; ,\; \; \forall n\in {\mathbb N} . \]

[незваный гость]

photon писал(а):

I can't understand your denominators. What does $\left( {\begin{array}{*{20}c} {2n} \\ k \\ \end{array} } \right)$ mean?

Just in case: $({}_k^n) \equiv C_n^k$

[Юстас]

Просто решается прямым вычислением, начиная с последнего члена, и использования формулы $C_n^k+C_{n}^{k-1}=C_{n+1}^k$. Достаточно проделать 2 действия и убедиться, что все слагаемые аналогично уничтожаются.