Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)

[seraphimt]

Добрый день. Разъясните, пожалуйста, такой момент. Читаю учебник Фихтенгольца, стр 67-68, теорема Штольца. Непонятно почему мы уверены, что из возрастания последовательности $y_n $ дробь $\frac{x_n - x_N}{y_n - y_N}$ лежит в указанных границах. Из первоначального допущения это вроде бы не следует, из того факта, что знаменатель этой дроби сумма знаменателей и числитель сумма числителей тоже. Особенно учитывая, что на $x_n$ мы никаких ограничений не накладывали, в отличии от $y_n$.
Сама теорема:

(Оффтоп)

[Dragon27]

Ну запишите что-нибудь типа

$$l_1\leq\frac{a_k}{b_k}\leq l_2$$

для все $k$ (их конечное количество) и докажите отсюда

$$l_1\leq\frac{\sum a_k}{\sum b_k}\leq l_2$$

с учётом того, что все $b_k$ положительны.

[seraphimt]

Dragon27 а как такое доказать? Я взял для примера верхнее ограничение, попробовал по индукции - минимум $\leqslant 2l_2$, а не $l_2$. Если разбить на $k$ дробей по $a_k$, тоже ниже чем $\leqslant kl_2$ не получается оценить.

[svv]

Подсказка: $b_k>0$ позволяет из
$l_1<\dfrac{a_k}{b_k}< l_2$
получить
$l_1 b_k<{a_k}< l_2 b_k$
(у Фихтенгольца неравенства строгие)

[Dragon27]

seraphimt в сообщении #1472747 писал(а):

Dragon27 а как такое доказать? Я взял для примера верхнее ограничение, попробовал по индукции - минимум $\leqslant 2l_2$, а не $l_2$. Если разбить на $k$ дробей по $a_k$, тоже ниже чем $\leqslant kl_2$ не получается оценить.

Там же, вроде, кроме элементарных свойств неравенств (умножение/деление на положительное число, суммирование) больше ничего не нужно. Доказательство практически само собой просится :)

[seraphimt]

svv
Dragon27
Спасибо, разобрался.