Вывод сокращения длины из замедления времени

[misha.physics]

Здравствуйте. Где-то у меня ошибка в рассуждениях, а где - понять не могу.

В учебнике сокращение длины выводиться следующим образом. (Я немного на свой лад перескажу.) Пусть стержень движется вдоль прямой с постоянной скоростью $V$ относительно инерциальной системы отсчёта $K$. Свяжем со стержнем систему отсчёта $K'$. Пусть за время $t_K$ в $K$ системе оба конца стержня прошли через одну и ту же точку $K$ системы. Тогда длина стержня в $K$ системе равна $l_K=Vt_K$. Найдем длину стержня в системе $K'$. В $K' $ системе оба конца стержня пройдут через фиксированную точку $K$ системы за время $t_{K'}$ и длина стержня в $K'$ системе равна $l_{K'}=Vt_{K'}$. Поскольку часы в $K$ системе движутся относительно $K'$ системы со скоростью $V$, то время в системе $K'$ пройдет больше чем в системе $K$, а именно, $t_{K'}=t_K/\sqrt{1-V^2/c^2}$. Получаем $l_K=l_{K'}\sqrt{1-V^2/c^2}$, как и должно быть. Это в книге, это понятно.

Теперь я начинаю рассуждать с другой стороны. Пусть мы сначала находимся в $K'$ системе. И время прохождения обоих концов стержня фиксированной точки в системе $K$ равно $t_{K'}$. Это время можно измерить так: возьмем двух наблюдателей в $K'$ системе, находящихся на концах стержня и пусть каждый из них измерит время прохождения фиксированной точки в $K$ системе (для этого в этой точке в $K$ системе можно поставить наблюдателя). Тогда время $t_{K'}$ будет разностью этих времен. Значит $l_{K'}=Vt_{K'}$. Перейдем теперь в $K$ систему. Время прохождения концами стрежня фиксированной точки в $K$ системе будет $t_K$, и поскольку часы в $K'$ системе движется относительно $K$ системи со скоростью $V$, то время в $K$ системе пройдет больше, а именно $t_K=t_{K'}/\sqrt{1-V^2/c^2}$, ну и получаем $l_{K'}=l_K\sqrt{1-V^2/c^2}$ противоположно первому выводу. То есть, здесь получается, что собственная длина $l_{K'}$ меньше $l_K$.

Ошибка во втором способе рассуждений мне кажется может быть здесь: "Значит $l_{K'}=Vt_{K'}$", так как мы тут измеряем длину стержня в $K'$ системы относительно фиксированной точки $K$ системы, но развить и понять эту идею у меня пока не получается.

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1472638 писал(а):

Пусть за время $t_K$ в $K$ системе оба конца стержня прошли через одну и ту же точку $K$ системы.

misha.physics в сообщении #1472638 писал(а):

Это время можно измерить так: возьмем двух наблюдателей в $K'$ системе, находящихся на концах стержня и пусть каждый из них измерит время прохождения фиксированной точки в $K$ системе

Разница заметна? В первом случае вы измеряете время в одной точке, во втором - в разных.

[misha.physics]

Да, теперь заметна. Во втором случае мы измеряем время в двух разных точках системы $K'$.

Хотел обойтись без преобразований Лоренца и запутался.

-- 06 июл 2020, 15:15 --

Значит получается, что нет способа вычислить длину $l_K$ (находясь сначала в $K'$ системе) путем использования закона замедления времени, так как нельзя измерить время $t_{K'}$ (непосредственно часами в $K'$)?

[Pphantom]

Это будет просто общее следствие преобразований Лоренца, а не искомый эффект. Вы же гоняетесь за сокращением линеек и замедлением часов, а они возникают при измерении координат/времени одновременно/"одноместно".

[misha.physics]

А, понял, у меня сразу и в разных местах и в разные моменты времени. Спасибо.

[misha.physics]

Ещё понял, при выводе закона замедления времени важно не столько то, чтобы в движущейся системе события происходили в одном месте, а то, чтобы эти события имели одинаковую координату, вдоль которой одна система движется относительно другой. То есть, события могут иметь разные поперечные координаты, все равно они будут одинаковы в двух системах (точнее их разность). То есть при выводе закона замедления времени необязательно чтобы световой импульс в световых часах возвращался в исходное положение если импульс бегает перпендикулярно движению системы отсчёта (в движущейся системе).

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1472694 писал(а):

Ещё понял, при выводе закона замедления времени важно не столько то, чтобы в движущейся системе события происходили в одном месте, а то, чтобы эти события имели одинаковую координату, вдоль которой одна система движется относительно другой. То есть, события могут иметь разные поперечные координаты, все равно они будут одинаковы в двух системах (точнее их разность).

В общем-то это более-менее все равно. Пока дело не дошло до скоростей (и тем более ускорений), о "поперечных" координатах можно спокойно забыть.

[misha.physics]

Ещё интересует такой вопрос. Пусть как и ранее

misha.physics в сообщении #1472638 писал(а):

Пусть стержень движется вдоль прямой с постоянной скоростью $V$ относительно инерциальной системы отсчёта $K$. Свяжем со стержнем систему отсчёта $K'$. Пусть за время $t_K$ в $K$ системе оба конца стержня прошли через одну и ту же точку $K$ системы. Тогда длина стержня в $K$ системе равна $l_K=Vt_K$. Найдем длину стержня в системе $K'$. В $K' $ системе оба конца стержня пройдут через фиксированную точку $K$ системы за время $t_{K'}$ и длина стержня в $K'$ системе равна $l_{K'}=Vt_{K'}$. Поскольку часы в $K$ системе движутся относительно $K'$ системы со скоростью $V$, то время в системе $K'$ пройдет больше чем в системе $K$, а именно, $t_{K'}=t_K/\sqrt{1-V^2/c^2}$. Получаем $l_K=l_{K'}\sqrt{1-V^2/c^2}$, как и должно быть.

Пусть теперь в системе $K'$ находятся двое неподвижных наблюдателей на концах стержня. Они поочередно пролетают те часы в $K$ системе, по которым мы определяли время $t_K$. Пусть каждый из двух наблюдателей в тот момент когда поравняется с этими часами посмотрит на эти часы и снимет с них показания. Разница этих показаний и будет равна $t_{K'}=t_K/\sqrt{1-V^2/c^2}$, да?

-- 10 июл 2020, 17:04 --

Ой, поспешил, давайте сначала лучше так, вот здесь

misha.physics в сообщении #1473197 писал(а):

посмотрит на эти часы

заменим на "посмотрит на свои часы". Вопрос тот же

misha.physics в сообщении #1473197 писал(а):

Разница этих показаний и будет равна $t_{K'}=t_K/\sqrt{1-V^2/c^2}$, да?