Элементарные вопросы алгебры

[vadimm]

Долго мучился и все таки решил высказаться.

Я взялся решать для себя некоторые задачки по алгебре. Несколько задач прошли на ура. Это те, где нужно вяснить является ли или нет группой какое-нибудь множество чисел снабженное некоторой бинарной операцией. Потом появились задачи на единственность существования элемента группы, например, показать что в группе существует единственный единичный элемент.

Я написал такое доказательство. Пусть $e_1$ и $e_2$ - два единичных элемента группы $G$. Тогда $\forall x \in G \colon e_1x = xe_1 = x, ~e_2x = xe_2 = x \Rightarrow e_1x = e_2x, ~xe_1 = xe_2 \Rightarrow e_1 = e_2$.

Потом выяснилось, что такое решение не подходит. Не могу понять, почему? В своих записях ошибки не наблюдаю. Все кажется логичным. Есть левая и правая часть равенства $e_1x = e_2x$, иксы равны, для сохранения равенства нужно, чтобы и другие два элемента совпадали, то есть $e_1 = e_2$.

По настоящему пугает меня совершенно другая вещь. Эмоционально-писхологическая. Я часто думаю, что делаю некоторые вещи правильно, а выходит наоборот. Ошибка! И это на элементарнейших вопросах, где думаешь справиться должен и школьник. А что говорить о более сложных математических задачах. Простая задача! Ошибка! Не смог! Приступ идиосинкразии. И такую личную отвращенность к себе испытываю. И сразу накрывают сомнения об успехах в изучении математики.

[kotenok gav]

vadimm в сообщении #1472495 писал(а):

Есть левая и правая часть равенства $e_1x = e_2x$, иксы равны, для сохранения равенства нужно, чтобы и другие два элемента совпадали, то есть $e_1 = e_2$.

Это называется "правилом сокращения". Оно может быть неверным.

-- 06 июл 2020, 05:20 --

Вот вам подсказка по поводу задачи: рассмотрите $e_1e_2$.

[vadimm]

kotenok gav в сообщении #1472496 писал(а):

Оно может быть неверным.

Объясните, пожалуйста, почему? Разве для элементов группы не справедливо: $ac = bc \Leftrightarrow a = b $.

[kotenok gav]

Хм, для группы - да. Я думал, в задаче говорилось просто о моноиде (на самом деле, он даже не должен быть ассоциативным!), там единица тоже единственна.

[vadimm]

Тогда не понятно, где кроется ошибка в моем доказательстве?

[kotenok gav]

Ну, формально, ошибки нет. Но можно написать более простое и более "универсальное" доказательство.

[mihaild]

vadimm в сообщении #1472515 писал(а):

Тогда не понятно, где кроется ошибка в моем доказательстве?

Возможно, имелось в виду необходимость доказать $x a = x b \rightarrow a = b$. А почему вы вообще думаете, что у вас есть ошибка?

[Someone]

vadimm в сообщении #1472495 писал(а):

Потом выяснилось, что такое решение не подходит. Не могу понять, почему?

На этот вопрос нельзя ответить, пока Вы не указали, какими аксиомами у Вас определяется группа. В группе закон сокращения, конечно, выполняется, но если его нет в списке аксиом, то его нужно доказывать. И боюсь, что для этого потребуется единственность единицы и единственность обратного элемента.

[vadimm]

mihaild в сообщении #1472519 писал(а):

Возможно, имелось в виду необходимость доказать $x a = x b \rightarrow a = b$. А почему вы вообще думаете, что у вас есть ошибка?

Не знаю. Требуется доказать, что в любой группе существует единственный единичный элемент. А вот про ошибку мне сказал знакомый, который уже прошел курс алгебры на математическом факультете. То есть он сказал и показал на листочке без объяснений, что цепочка рассуждений должна быть иная.

[iifat]

Someone в сообщении #1472522 писал(а):

пока Вы не указали, какими аксиомами у Вас определяется группа

Как-то не встречал альтернативных (ну, существенно альтернативных, неэквивалентных) аксиом групп.

Someone в сообщении #1472522 писал(а):

боюсь, что для этого потребуется единственность единицы и единственность обратного элемента

Зачем? Вполне, имхо, доказывается без того очевидным образом: домножаем слева на обратный, получаем единицу, которую и вычёркиваем. На любой обратный.

vadimm в сообщении #1472527 писал(а):

Требуется доказать, что в любой группе существует единственный единичный элемент

Присоединяюсь к mihaild: разумеется, в любой группе $x a = x b \rightarrow a = b$, но это не аксиома, а теорема, и её стоит доказать прям вот где-то недалеко от.

[Someone]

iifat в сообщении #1472543 писал(а):

Как-то не встречал альтернативных (ну, существенно альтернативных, неэквивалентных) аксиом групп.

Если определение настолько "альтернативное", что не эквивалентно определению группы, то оно определяет не группу.

Но если vadimm хочет разобраться, почему его доказательство неполно, то необходимо иметь точное определение группы со всеми аксиомами. Именно то, которым он пользуется.

iifat в сообщении #1472543 писал(а):

Зачем? Вполне, имхо, доказывается без того очевидным образом: домножаем слева на обратный, получаем единицу, которую и вычёркиваем. На любой обратный.

Может быть. Но самое простое доказательство единственности единичного элемента основано на указании

kotenok gav в сообщении #1472496 писал(а):

рассмотрите $e_1e_2$.

Для него не требуется ничего, кроме определения единичного элемента.

[mustitz]

vadimm в сообщении #1472495 писал(а):

Потом выяснилось, что такое решение не подходит. Не могу понять, почему? В своих записях ошибки не наблюдаю. Все кажется логичным. Есть левая и правая часть равенства $e_1x = e_2x$, иксы равны, для сохранения равенства нужно, чтобы и другие два элемента совпадали, то есть $e_1 = e_2$.

Ну... $5 \cdot 0 = 3 \cdot 0$. Будет ли следовать отсюда, что $5=3$? Это правило не универсально для всех бинарных операций, и его нужно сначала доказать для групп, а потом уже использовать.

vadimm в сообщении #1472495 писал(а):

По настоящему пугает меня совершенно другая вещь. Эмоционально-писхологическая. Я часто думаю, что делаю некоторые вещи правильно, а выходит наоборот. Ошибка! И это на элементарнейших вопросах, где думаешь справиться должен и школьник. А что говорить о более сложных математических задачах. Простая задача! Ошибка! Не смог! Приступ идиосинкразии. И такую личную отвращенность к себе испытываю. И сразу накрывают сомнения об успехах в изучении математики.

Ну... Это вопросы аксиоматики, и они достаточно специфические. Скажем так, иногда это нетривиальные доказательства очевидного. Не каждый школьник справится, да и в школе есть только аксиоматика геометрии, и то... достаточно неформальная на мой взгляд. Например, возьмём какую-нить школьную формулу а-ля $a(b+c) = ab + ac$. Нигде в школьном курсе она не доказывается. Хотя с точки зрения аксиоматики надо бы доказать. И не всегда такие доказательства тривиальны. И отсутствия понимания таких доказательств не мешает школьникам упрощать выражения, и т. п.

[iifat]

mustitz в сообщении #1472612 писал(а):

$5 \cdot 0 = 3 \cdot 0$. Будет ли следовать отсюда, что $5=3$?

Ну, мы ж с самого начала про группы говорим. Пр чём тут

mustitz в сообщении #1472612 писал(а):

не универсально для всех бинарных операций

[mustitz]

iifat в сообщении #1472625 писал(а):

mustitz в сообщении #1472612 писал(а):

$5 \cdot 0 = 3 \cdot 0$. Будет ли следовать отсюда, что $5=3$?

Ну, мы ж с самого начала про группы говорим. Пр чём тут

mustitz в сообщении #1472612 писал(а):

не универсально для всех бинарных операций

Как я понял из первого поста, группа определяется через множество с бинарной операцией, которая обладает какими-то свойствами (возможны варианты). Тогда воспользоваться правилом $e_1x = e_2x \Rightarrow e_1 = e_2$ мы можем только либо это аксиоматическое свойство операции и тогда доказательство в этом месте корректно. Либо если автор ошибочно полагает, что оно справедливо для всех множеств с бинарной операцией (тогда мой коментарий уместен). Либо просто невнимательность/недопонимание, как работают аксиоматические построения в целом (и тогда лучше поразбираться в качестве примера с аксиомами Пеано, например, или скипнуть вообще). Как-то так.

[vadimm]

Просто ужас. Я думал, когда я написал, что доказываем существание единственности единичного элемента в любой группе, то всем сразу стало ясно, что имелось ввиду под группой и все дружно вспомнили определение и аксиомы группы. Однако не так. А как в доказательстве прямо помогут аксиомы Пеано, я вообще понять не смог.

Была подсказка:

kotenok gav в сообщении #1472496 писал(а):

рассмотрите $e_1e_2$

Выходит, что используя аксиому существования и свойство единичного элемента группы, сделать можно, наверное так: $e_1 = e_1e_2 = e_2$. Медитируя над этой формулой, я потратил примерно пол часа. К каким то глубоким мыслям она не привела. Зато открылась скрытая сила изящества доказательства тривиального математического утверждения. Если можно так просто, то конечно мой первый вариант доказательства провален.

Я попробовал еще некоторые простые утверждения:

Вот мое доказательство, что:

$ (1) ~e^{-1} = e,
$e^{-1}e = e^{-1}$ (аксиома единичного элемента)
$e^{-1}e = e$ (аксиома обратного элемента к элементу $e$).


$ (2) ~(a^{-1})^{-1} = a,$
$(a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1}e = (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a) = ((a^{-1})^{-1}a^{-1})a = ea = a.$