Решил детальней разобраться в вопросе существования точки общей для всех вложенных отрезков.
Открываю Зорича (Математический анализ. Том 1. Издание 6-ое. 2012 г.) на стр 81-82 Лемма (Коши-Кантор):
Ссылка на printscreen доказательства:
https://ibb.co/P9VdzFTМожет быть я его неправильно читаю, но мне кажется доказательство не изменит своей логики,
если отрезки заменить на интервалы

с некоторыми изменениями (

- заменим на строгое неравенство),
таким образом можно доказать, что у этой системы вложенных интервалов есть общая точка, что неверно.
Меня особенно смущает утверждение, цитирую:
...В частности

для любого

.
Но это и означает что точка

принадлежит всем отрезкам

.
По-моему тоже самое можно сказать и об интервалах, а именно:
Так как по аксиоме полноты найдется число

, такое что для

выполнено

.
В частности,

для любого

.
Но это означает, что точка

принадлежит всем интервалам

.
То есть получаем неверное утверждение.
Как я понимаю, здесь возникает путаница между двумя понятиями:
1) для всех, как для
каждого(любого) выбранного (в частности для каждой выбранной пары

)
2) для всех, как для всех
вообщеЕсли рассматривать понятие "для всех", как для
каждого выбранного, то да, действительно для любого

, найдется

принадлежащая интервалу

.
Но это не означает, что существует

, принадлежащая всем интервалам
вообще.
Что вы думаете по этому поводу?