2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Планиметрический тупик
Сообщение03.07.2020, 21:08 


03/07/20
16
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, понять задачу, зашел в тупик.

Тoчкa $M$ - середина сторoны $AC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B$ - прямой, $\angle B=30^o$. На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AD=BC$. Пусть $DP$ - высота треугольника $MBD$. Докажите, что удвоенный периметр треугольника $MDP$ больше периметра треугольника $MDB$.

Изображение

Медиана равна половине гипотенузы, потому ясно, что треугольник $BMC$ - равносторонний, также треугольник $ABC$ равнобедренный с двумя углами по 30 градусов. В треуольнике $BDP$ с углом в 30 градусов возьмем за $x$ сторону $DP$, тогда сразу получаем $BD=BM=BC=MC=AM=2x$. Дальнейшие действия - не очевидны. Также нашел все изображенные углы. Подскажите, пожалуйста, дальнейшие идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрический тупик
Сообщение04.07.2020, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
syaomyao в сообщении #1472111 писал(а):
На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AD=BC$.
Сразу бросается в глаза, что на картинке нарисовано другое: $BD = BC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрический тупик
Сообщение04.07.2020, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
syaomyao в сообщении #1472111 писал(а):
Докажите, что удвоенный периметр треугольника $MDP$ больше периметра треугольника $MDB$.

Если смотреть на ваш рисунок, то это утверждение кажется фигней несусветной. Ну попробуем порисовать в TikZ. Длины нам всё равно не даны, так что масштаб можно любой поставить.

Изображение




(Оффтоп)

Форумный TikZ ни на что не способен, вот код, если кто хочет попробовать самостоятельно. Я не смог ничего сделать, он просто не работает.
Код:
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}
  \begin{tikzpicture}
  \def\AC{5}
  \coordinate [label=above:$A$](A) at (0, {\AC*cos(30)});
  \coordinate [label=below left:$B$](B) at (0, 0) [anchor=south west];
  \coordinate [label=right:$C$](C) at ({\AC*sin(30)}, 0);
  \coordinate [label=left:$D$](D) at (0, {\AC*(cos(30) - sin(30))});
  \coordinate [label=above right:$M$](M) at ($(A)!0.5!(C)$);
  \coordinate [label=right:$P$](P) at ($(B)!(D)!(M)$);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw [thick, red] (B) -- (M) -- (D) -- cycle;
  \draw [thick, green](D) -- (P) -- (M) -- cycle;
  \end{tikzpicture}
\end{document}


-- 04.07.2020 в 00:59 --

А, ну так у вас всё есть, вам $DM$ надо знать только. Теорема косинусов. Дерзайте. Последний шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрический тупик
Сообщение04.07.2020, 14:46 


03/07/20
16
Спасибо! Смог доказать через неравенство треугольника, вся проблема была в невнимательности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрический тупик
Сообщение04.07.2020, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
syaomyao, я вам ещё предложу способ, я только трудности испытываю с построением картинки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрический тупик
Сообщение04.07.2020, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Задача оказалось гораздо проще, чем я думал, так что предлагать нечего здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group