Дифференциальное уравнение объяснить откуда взялось решение

[Ivan 09]

Здравствуйте.
Имеется уравнение
$(x^2+y^2)y '=2xy$
Сразу можно сказать, что $y=0$ будет решением.
$x^2-y^2=Cy$ Второе решение.(с ним нет проблем , оно получено)
Если возникнет вопрос, откуда взялось $y=0$ решение? как показать, или как описать так, чтобы этого вопроса не возникло.
Мне кажется, что описать словами "так как , если подставить y=0, то получим тождество" не совсем полно.

[rascas]

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

откуда взялось $y=0$ решение?

Если $C$ устремить к бесконечности, то решение $x^2-y^2=Cy$ вырождается в $y=0$ .

[Ivan 09]

rascas
Да, спасибо, кажется я понял.
При ответе можно вообще не указывать решение $y=0$? А можно было указать только одно решение.

[amon]

Особое решение дифференциальных уравнений

[kotenok gav]

Нет, нельзя не указывать.

[provincialka]

Ivan 09
Если я правильно поняла, вопрос в том, чтобы особое (или просто не описанное общим интегралом) решение не "падало с неба" по принципу "это тоже решение", а появлялось в результате логического рассуждения. Иначе нет гарантии, что мы ещё какое-то решение не пропустили.

Если так, нужно смотреть ход решения. Например, на каком-то этапе вам пришлось делить уравнение на $y$. Значит, отдельно нужно проверить случай $y=0$.

[Red_Herring]

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

Мне кажется, что описать словами "так как , если подставить y=0, то получим тождество" не совсем полно.

provincialka в сообщении #1470801 писал(а):

Если я правильно поняла, вопрос в том, чтобы особое (или просто не описанное общим интегралом) решение не "падало с неба" по принципу "это тоже решение", а появлялось в результате логического рассуждения. Иначе нет гарантии, что мы ещё какое-то решение не пропустили.

Существует много задач в ОДУ, и особенно в УЧП, в которых трудно, если не невозможно, найти общее решение, но можно угадать или найти какие-то специальные решения. И пренебрегать подобными решениями глупо. Например в двумерных динамических системах они показывают рубежи, через которые другие решения не перейдут.

[Someone]

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

Если возникнет вопрос, откуда взялось $y=0$ решение? как показать, или как описать так, чтобы этого вопроса не возникло.

Вы же своего решения не показали, поэтому конкретно указать место невозможно.

Я могу предположить, что Вы решали уравнение как однородное и использовали замену неизвестной функции вида $y=zx$. В таком случае на одном из шагов решения возникло деление на $xz(z-1)(z+1)$, которое возможно только при $xz(z-1)(z+1)\neq 0$, а Вы, таким образом, потеряли решения, для которых $xz(z-1)(z+1)=0$. Это уравнение Вы должны были решить отдельно и получить функции $y=0$, $y=x$ и $y=-x$, которые следует подставить в уравнение и проверить, являются ли они решениями. $x=0$, естественно, решением не является, так как $x$ — независимая переменная, но если бы уравнение было записано в виде $(x^2+y^2)dy=2xy\,dx$, то из него было бы не ясно, какая из переменных является независимой, и решения вида $x=\mathrm{Const}$ были бы возможны.
Интегрируя уравнение для $z$, Вы могли получить что-нибудь вроде

$$-\ln\lvert z\rvert+\ln\lvert z-1\rvert+\ln\lvert z+1\rvert=\mathrm{Const}-\ln\lvert x\rvert.$$

Предвидя будущие преобразования, можно догадаться записать произвольную постоянную в виде $\ln\lvert C\rvert$, где, разумеется, $C\neq 0$, и после преобразований получается ваше общее решение (оно, кстати, никакое не "второе", а общее; у меня знак $C$ получился противоположным вашему, но это не существенно и получилось в результате каких-то отличий в преобразованиях) $y^2-x^2=Cy$, где, как было сказано, $C\neq 0$ (нужно понимать, почему после раскрытия модулей можно не писать $\pm$). Если произвольную постоянную после интегрирования обозначить просто $C$, то, так как $e^C>0$, убрав модули, придётся писать $y^2-x^2=\pm e^Cy$.
Далее нужно вспомнить про три дополнительных решения и проверить, получаются ли они из общего при каком-нибудь значении $C$. При этом обнаруживается, что решения $y=x$ и $y=-x$ получаются при $C=0$ и, следовательно, требование $C\neq 0$ не нужно (а также в ответе не нужно указывать эти два решения отдельно от общего решения), а $y=0$ ни при каком значении $C$ не получается, и потому его в ответе нужно указать отдельно.
Единственность решения задачи Коши для данного уравнения нарушается только в точке $(0;0)$, поэтому особых решений нет; в частности, решение $y=0$ является частным, а не особым.
Немного изменив вычисления, можно было бы получить общее решение в виде $y=C(y^2-x^2)$, тогда $y=0$ получалось бы при $C=0$, а решения $y=x$ и $y=-x$ не получались бы ни при каком значении $C$.

[manul91]

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

Если возникнет вопрос, откуда взялось $y=0$ решение? как показать, или как описать так, чтобы этого вопроса не возникло.

Объяснять "откуда взялось решение" - не необходимо.
Пусть даже если приснилось.
Достаточно показать/доказать, что предложенное ($y=0$) является решением.
Этого достаточно - никто не может оспорить тот факт, что вы нашли решение.
Претензии могут быть только к тому, что (эвентуально) не все решения найдены (если это так, конечно).

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

Мне кажется, что описать словами "так как , если подставить y=0, то получим тождество" не совсем полно.

Это совсем полно и достаточно (чтобы показать, что именно y=0 является решением).
Разумеется можно не только описывать словами, но и расписать по-дебильному что после подстановки y=0 получается тождество.

[Ivan 09]

Всем спасибо! Разобрался.
Someone мне очень помогло Ваше сообщение. Отдельно хочется отметить. Спасибо.

[svv]

Ivan 09 в сообщении #1470769 писал(а):

как показать, или как описать так, чтобы этого вопроса не возникло

Запишем уравнение в дифференциалах:
$(x^2+y^2)\;dy=2xy\;dx$
Вычтем из каждой части $2y^2\;dy$:
$(x^2-y^2)\;dy=2xy\;dx-2y^2\;dy\;=y\;d(x^2-y^2)$
Обозначим $z=x^2-y^2$:
$z\;dy=y\;dz$
Получили простое и красивое уравнение. Хоть оно неэквивалентно исходному (мы дважды совершили действия, которые могли расширить множество решений), его и рекомендуется исследовать.