Точная верхняя граница множества, Фихтенгольц.

[netlenskiy]

Начинаю изучать мат. анализ по Фихтенгольцу. В самом начале столкнулся с непониманием такого момента:
Не могу понять, зачем нужно второе неравенство? Предполагаю, что это для того, чтобы показать, что слева можно к этой верхней границе бесконечно приближаться, то есть это демонстрация того, что граница эта именно точная. Но в учебнике не даётся объяснения, зачем это неравенство нужно, поэтому боюсь пропустить что-нибудь важное так, что потом будет трудно понять связанный материал.

[demolishka]

netlenskiy в сообщении #1470614 писал(а):

зачем нужно второе неравенство?

В контексте предложения из книги оно нужно для характеризации (=эквивалентного описания) точной верхней границы. Другими словами, если $M^{*}$ есть точная верхняя граница, то выполнены эти два неравенства и наоборот, если для некоторого $M^{*}$ выполнены эти два неравенства, то $M^{*}$ является точной верхней границей.

[Brukvalub]

netlenskiy в сообщении #1470614 писал(а):

Не могу понять, зачем нужно второе неравенство?

Рассмотрим в качестве множества отрезок $[0 ; 1]$ и положим $M^{*}= 100$ . Первое неравенство выполняется для такого числа $M^{*}= 100$ и всех точек выбранного множества. Означает ли это, что число $M^{*}= 100$ - точная верхняя грань множества $[0 ; 1]$ ?

[netlenskiy]

По-видимому не означает, так как второе неравенство не выполняется, что означает, что можно взять такой $\alpha$, что не найдётся $x^{, который будет больше $\alpha$, или этот $x^{ уже не будет принадлежать этому множеству. Например, $\alpha = 1$. Всем большое спасибо, теперь понятно)