Задачи из Математического Просвещения №19 (2015)

[maxal]

Задачи из номера 19 "Математического Просвещения". См. также задачи из номеров 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.


1. В новогоднем конкурсе участвовало $n$ человек. Все участники получили открытки. Занявшему первое место дали одну открытку и десятую часть оставшихся, за второе место дали две открытки и десятую часть оставшихся, ... за последнее $n$-е место — $n$ открыток и десятую часть оставшихся. Все открытки были розданы. Сколько было участников?
(А. К. Ковальджи)


2. В пространстве произвольным образом расположено несколько многогранников (возможно, пересекающихся). Докажите, что в пространстве можно расположить некоторое множество точек так, чтобы каждый многогранник содержал не менее одной точки внутри себя и чтобы любые два многогранника одинакового объёма содержали внутри себя одно и то же число точек.
(Г. А. Гальперин)


3. Решите уравнения

$$\text{а)}\ x^2 + y^2 = (x + 1)^3;\qquad\text{б)}\ x^2 + xy + 2y^2 = (y + 1)^3$$

в целых числах.
(Н. Н. Осипов)


4. Расстояние между пунктами А и Б равно $d$. В пункте А имеется $n$ велосипедистов и $k<n$ велосипедов. Скорость пешехода $v_1$, велосипедиста $v_2 > v_1$. За какое наименьшее время они могут добраться из пункта А в пункт Б? (Разрешается оставлять велосипеды на дороге.)
(А. Я. Канель-Белов)


5. Дана непрерывная поверхность без самопересечений. Известно, что на ней есть две точки, расстояние между которыми максимально для всех пар точек данной поверхности. Известно также, что любая её проекция есть круг. Докажите, что эта поверхность — сфера.
(А. А.Шапиро)


6. Пусть $\alpha\notin Q$ — иррациональное число, $\beta$ — произвольное число из интервала $(0,1)$, а $Q(M)$ — минимум дробной части $N\cdot\alpha$, где $N<M$ — целое. Аналогично $R(M)$ есть минимум дробной части $\beta - N\cdot\alpha$. Докажите, что $Q(M)>R(M)$ при бесконечно многих $M$.
(Фольклор)


7. Докажите неравенство

$$\frac{R}r < \frac{\pi}{\alpha\beta\gamma},$$

где $R,r$ — радиусы описаннной и вписанной окружностей треугольника, $\alpha, \beta, \gamma$ — его углы в радианах.
(К. Э. Каибханов)


8. Многочлен $P(x)$ делит $x^n-1$ при некотором $n$. Может ли один из его коэффициентов равняться $2014$? А если $P(x)$ неприводим?
(В. А. Сендеров, А. Я. Канель-Белов)


9. Дан треугольник $ABC$ и положительные числа $p,q$ такие, что

$$\frac1p + \frac1q = 1.$$

Пусть $X$ — точка плоскости, для которой сумма $AX^p + BX^p + CX^p$ минимальна, а $A', B', C'$ — точки на сторонах $BC, CA, AB$, для которых сумма $A'B'^q + B'C'^q + C'A'^q$ минимальна. Докажите, что $CX\perp A'B'$.
(А. А. Заславский)


10. (Задача на исследование). На столе лежат круглые салфетки, возможно, разного размера. Любые две пересекаются. Докажите, что их можно прибить 100 гвоздями. Можно ли уменьшить число 100? А если эти салфетки суть единичные круги? А если это выпуклые фигуры, отличающиеся параллельным переносом?
(Фольклор)


11. Плоскость раскрашена в несколько цветов. Докажите, что существует треугольник единичной площади с вершинами одного цвета.
(А. Я. Канель-Белов)


12. При каких $n$ существует такая бесконечная последовательность над алфавитом $\{1,\dots, n\}$, что никакая комбинация букв не повторится два раза подряд?
При каких $n$ существует такая бесконечная последовательность над алфавитом $\{1,\dots, n\}$, что никакие три подслова одинаковой длины с одинаковой суммой символов не повторятся три раза подряд?
(Фольклор)


Решения задач 3, 7, 9 приведены в номере 20 (стр. 265-268)

[maxal]

maxal в сообщении #1469467 писал(а):

4. Расстояние между пунктами А и Б равно $d$. В пункте А имеется $n$ велосипедистов и $k<n$ велосипедов. Скорость пешехода $v_1$, велосипедиста $v_2 > v_1$. За какое наименьшее время они могут добраться из пункта А в пункт Б? (Разрешается оставлять велосипеды на дороге.)

Напомнило эту задачу:

avva в https://avva.livejournal.com/3199333.html писал(а):

Мальчик, девочка и пес отправляются в прогулку по маршруту длиной 10 миль. Мальчик и девочка идут со скоростью 2 мили в час, пес бежит со скоростью 4 мили в час. У них есть велосипед, на котором может ехать лишь один из них в данный момент времени (включая пса). Дети едут со скоростью 12 м/ч, а пес со скоростью 16 м/ч. За какое кратчайшее время они все смогут добраться до конца маршрута?

[Sicker]

maxal в сообщении #1469467 писал(а):

Расстояние между пунктами А и Б равно $d$. В пункте А имеется $n$ велосипедистов и $k<n$ велосипедов. Скорость пешехода $v_1$, велосипедиста $v_2 > v_1$. За какое наименьшее время они могут добраться из пункта А в пункт Б? (Разрешается оставлять велосипеды на дороге.)
(А. Я. Канель-Белов)

$t=\frac{dk}{nV_2}+\frac{d(n-k)}{nV_1}$

[nnosipov]

maxal в сообщении #1469485 писал(а):

Напомнило эту задачу:

А мне вот эту:

Задачник Кванта М550 писал(а):

Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно $12$ км, должны добраться три велосипедиста, у которых имеется два велосипеда. Каждый может идти пешком со скоростью $6$ км/ч или ехать на велосипеде со скоростью $12$ км/ч. За какое наименьшее время все велосипедисты смогут попасть из А в Б? (Время считаем по последнему прибывшему. Велосипеды можно оставлять на дороге без присмотра.)

Хотя на самом деле это частный случай задачи М550 (см. Квант, 1979, № 2). Такое ощущение, что К.-Б. ее перепридумал.

[waxtep]

maxal в сообщении #1469467 писал(а):

1. В новогоднем конкурсе участвовало $n$ человек. Все участники получили открытки. Занявшему первое место дали одну открытку и десятую часть оставшихся, за второе место дали две открытки и десятую часть оставшихся, ... за последнее $n$-е место — $n$ открыток и десятую часть оставшихся. Все открытки были розданы. Сколько было участников?

Если правильно понял условие, участников было $9$, и каждый получил по $9$ открыток. Так же, кхм, в конкурсе могло быть $0$ или $1$ участников