2 диф форма

[2old]

Given $\omega = fdx+gdy+hdz$, such that $\omega\wedge dz=0$, what can we conclude about $f$, $g$ and $h$?

$dz\wedge dz = 0$, так что кажется данное условие ничего про $h$ сказать не может.
Распишем чего дали:

$$ 0 = \omega\wedge dz = f dx\wedge dz + g dy \wedge dz. $$

Можно взять $d$ еще раз, тогда получим что $g_x = f_y$.
Дальше используя это и то, что $d^2 \omega = 0$ получим, что $f_ {zy}=g_{zx}$.

Я получил какой-то ерунды и не понимаю ни геометрического смысла, ни зачем это. Подскажите, как тут надо делать?

[Padawan]

Какой базис в пространстве 2-форм?

-- Вт июн 23, 2020 18:24:41 --

2old в сообщении #1470324 писал(а):

$$ 0 = \omega\wedge dz = f dx\wedge dz + g dy \wedge dx. $$

тут опечатка в последней букве?

[2old]

Например так: $dx\wedge dz, dy \wedge dz, dx\wedge dy$.

---
Да, спасибо, поправил.

[Padawan]

Ну раз это базис, то что следует из равенства

2old в сообщении #1470324 писал(а):

$$ f dx\wedge dz + g dy \wedge dz=0 $$

?

[2old]

Либо это не базис, либо $f$ и $g$ тождественно $0$. Выходит второе.

Спасибо, но я все равно что-то не очень понимаю. Пусть вместо $\omega$ форма $dz$. Тогда $dz\wedge dz = 0$. Выходит, наша $\omega$ и $dz$ должны характеризоваться одинаково чем-то.
А, ну вроде отсюда как раз уже и понятно почему $f, g$ нулевые. Cпасибо, вроде понял.