2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел бесконечной суммы
Сообщение23.06.2020, 01:06 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Доброго времени суток!
Хотелось бы помощи в вопросе:
каковы условия на $f_n(z)$ для выполнения
$$\lim_{z\to+\infty} \sum _{n=0}^{\infty } f_n(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim_{z\to+\infty} f_n(z).$$
Навеяно из $$\lim_{z\to+\infty}\sum _{n=0}^{+\infty } \frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}=\lim_{z\to+\infty} \tanh(z)=1$$
С другой стороны $$\sum _{n=0}^{+\infty } \lim_{z\to+\infty}\frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}=0.$$

Ряд $\lim_{z\to+\infty}\sum _{n=0}^{+\infty } \frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}$ сходится абсолютно и равномерно, конечно кроме полюсов tanh-са.
Мне осталось непонятным, как для любого другого хоть сколь угодно большого $z$ предел данной суммы равен сумме пределов, а в бесконечности нет. Может это связано с тем, что
$z=\infty$ является предельной точкой полюсов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел бесконечной суммы
Сообщение23.06.2020, 03:39 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
TelmanStud в сообщении #1470208 писал(а):
каковы условия на $f_n(z)$ для выполнения
Достаточное условие того, что предел и сумму можно переставить --- равномерная сходимость ряда функций в окрестности заданной точки (в том числе и бесконечной). См. любой учебник матана. Курите их (учебники) --- и будет щастье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел бесконечной суммы
Сообщение23.06.2020, 03:53 
Аватара пользователя


05/04/13
587
vpb
спс

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел бесконечной суммы
Сообщение23.06.2020, 04:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
TelmanStud
пжлст. Кшт бз хлб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел бесконечной суммы
Сообщение23.06.2020, 08:47 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Немного в сторону от вопроса. В предельной точке полюсов и предел функции считать не выйдет. Тут Вас спасает то, что предел считается вдоль вещественной оси, а полюса чисто мнимые.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: CDDDS


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group