Множество функций, равномерная ограниченность производной

[икс и грек]

Пусть $M$ - множество функций, таких что $ { f \in C^1[a,b]$ , $\int_{a}^{b}|f'(t)|dt<C_1$ и $|f(a)|<C_2$. Верно ли тогда, что производные этих функций будут равномерно ограничены?

[Brukvalub]

икс и грек в сообщении #146959 писал(а):

Пусть $M$ - множество функций, таких что $ { f \in C^1[a,b]$ , $\int_{a}^{b}|f'(t)|dt<C_1$ и $|f(a)|<C_2$. Верно ли тогда, что производные этих функций будут равномерно ограничены?

Нет.

[ewert]

Просто потому, что равномерная норма ни в коей мере не ограничивается интегральной, и производные здесь не при чём.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #147010 писал(а):

Просто потому, что равномерная норма ни в коей мере не ограничивается интегральной.

Ф топку философию!
Просто потому, что легко "нарисовать" последовательность - контрпример.

[ddn]

икс и грек писал(а):

Пусть $M$ - множество функций, таких что $f \in C^1[a,b]$ , $\int_{a}^{b}|f'(t)|dt<C_1$ и $|f(a)|<C_2$. Верно ли тогда, что производные этих функций будут равномерно ограничены?

Можно вообще рассматривать одни лишь производные $f'\in C^0[a,b]$, с условием $\int\limits_{a}^{b}|f'(t)|dt<C_1$.
Отсюда, кстати, следует $|f(x)-f(a)|=C_1(x-a)$
Равномерно ограниченность не имеет места. Пример:
$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}0,&x\in[a,a+d]\\c(x-(a+d)),&x\in[a+d,\frac{a+b}{2}]\\c((b-d)-x),&x\in[\frac{a+b}{2},b-d]\\0,&x\in[b-d,b]\end{array}$, где $0<d<\frac{b-a}{2}$.
Тогда $h=\sup\limits_{x\in[a,b]}|f'(x)|=|f(\frac{a+b}{2})|=|c|(\frac{b-a}{2}-d)$.
Условие запишется в виде $\int\limits_{a}^{b}|f'(t)|dt=\frac{1}{2}h(b-a-2d)=\frac{1}{4}|c|(b-a-2d)^2<C_1$ и будет выполняться при $h<\frac{2C_1}{(b-a-2d)}$.
Выбором $d$ можно неограниченно увеличить верхнее ограничение $\frac{2C_1}{(b-a-2d)}$ для $h$, а выбором $|c|$ можно сколь угодно приблизить $h$ к этой границе, то есть тоже неограниченно увеличить его.

То есть $\sup\limits_{f'}\sup\limits_{x\in[a,b]}|f'(x)|=+\infty$.

[Brukvalub]

ddn в сообщении #147016 писал(а):

Равномерно ограниченность не имеет места. Пример:
$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}0,&x\in[a,a+d]\\c(x-(a+d)),&x\in[a+d,\frac{a+b}{2}]\\c((b-d)-x),&x\in[\frac{a+b}{2},b-d]\\0,&x\in[b-d,b]\end{array}$, где $0<d<\frac{b-a}{2}$

Интересно, как этот пример согласуется с требованием:

икс и грек в сообщении #146959 писал(а):

Пусть $M$ - множество функций, таких что $ { f \in C^1[a,b]$

?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #147013 писал(а):

Ф топку философию!

Не согласен. Односторонняя подчинённость этих норм есть вопрос именно философский -- точечные значения не могут контролироваться усреднёнными. И это должно сидеть в подкорке, чтоб не рыскать каждый раз по контрпримерам.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #147019 писал(а):

... точечные значения не могут контролироваться усреднёнными.

Не могли бы Вы сформулировать сей пассаж в виде теоремы и хотя бы намекнуть на способ ее док-ва?

[ewert]

Пожалуйста. Доказательство -- по методу Гольдбергера, от противного. Предположим, что они могут контролироваться. Да, но это же абсурд! Что и требовалось доказать.

[Prokop]

Есть теоремы вложения.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #147023 писал(а):

Предположим, что они могут контролироваться. Да, но это же абсурд! Что и требовалось доказать.

Да. Как я и думал, кроме "болтологии", за Вашими словами ничего не стоит. Что Вы сейчас и доказали. Что мне и требовалось доказать.

[ewert]

Prokop в сообщении #147024 писал(а):

Есть теоремы вложения.

Нет теорем вложения, тут всё гораздо грубее: по замыслу из ограниченности в средном якобы следовала равномерная.

Brukvalub в сообщении #147025 писал(а):

кроме "болтологии", за Вашими словами

Так ведь с кем поведёшься. Вот дайте-ка точное определение того, что есть "философская теорема".