Билинейные функции в вещественном пространстве

[Vladimir Pliassov]

Если я ошибаюсь, поправьте меня.

1.

"Определение 4.2 Мы говорим, что $ A(x;y)$ есть билинейная функция (билинейная форма) от векторов $ x$ и $ y$, если:

$1 ^\circ$ при фиксированном $ y$ $ A(x;y)$ есть линейная функция от $ x$,

$ 2^\circ$ при фиксированном $ x$ $ A(x;y)$ есть линейная функция от $ y$." (Гельфанд. Лекции по линейной алгебре, гл.1, §4, п.2.)

Чтобы понять, что это значит - при фиксированном $\vec y$ , - запишем билинейную функцию в виде произведения ее матрицы на координаты векторов по правилам перемножения матриц:

$$(\xi _1, \xi _2, ..., \xi _n)\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \eta _1 \\ \eta _2 \\ \vdots \\ \eta _n \end{pmatrix} = (\xi _1,\xi _2, ..., \xi _n)\begin{pmatrix} a^\prime_1 \\ a^\prime_2 \\ \vdots \\ a^\prime_n \end{pmatrix}$$

где элементы (одномерной) матрицы $(a^\prime_1, a^\prime_2, ..., a^\prime_n)^T$ фиксированы, поскольку фиксированы элементы матриц $(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n)^T$ и $(a_{ik})$.

Для фиксированного $\vec x$ можно провести аналогичную операцию.

2.

Билинейную форму можно получить, перемножив две линейные формы.

Положив $\tilde a_i=f( \vec e_i)$, $\tilde b_k=g( \vec e_k)$, перемножим две линейнные формы, а именно $f(\vec x)$ и $g(\vec y)$:

$$f(\vec x)g(\vec y)=(\tilde a_1\xi _1 + \tilde a_2\xi _2 + ... + \tilde a_n\xi _n)(\tilde b_1\eta _1 + \tilde b_2 \eta_2 + ... + \tilde b_n\eta_n)=$$

$$\begin{matrix} =\tilde a_1\xi _1\tilde b_1\eta _1 + \tilde a_1\xi _1\tilde b_2 \eta_2 + ... + \tilde a_1\xi _1\tilde b_n\eta_n+\\ \\ +\tilde a_2\xi _2\tilde b_1\eta _1 + \tilde a_2\xi _2\tilde b_2 \eta_2 + ... + \tilde a_2\xi _2\tilde b_n\eta_n+\\ \\ .........................................................\\ \\ +\tilde a_n\xi _n\tilde b_1\eta _1 + \tilde a_n\xi _n\tilde b_2 \eta_2 + ... + \tilde a_n\xi _n\tilde b_n\eta_n=\\ \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} =\tilde a_1\tilde b_1\xi _1\eta _1 + \tilde a_1\tilde b_2\xi _1 \eta_2 + ... + \tilde a_1\tilde b_n\xi _1\eta_n+\\ \\ +\tilde a_2\tilde b_1\xi _2\eta _1 + \tilde a_2\tilde b_2\xi _2 \eta_2 + ... + \tilde a_2\tilde b_n\xi _2\eta_n+\\ \\ .........................................................\\ \\ +\tilde a_n\tilde b_1\xi _n\eta _1 + \tilde a_n\tilde b_2\xi _n \eta_2 + ... + \tilde a_n\tilde b_n\xi _n\eta_n. \end{matrix}$$

Положив $\tilde a_i\tilde b_k=a_{ik}$, получим $f(\vec x)g(\vec y)=$

$$\begin{matrix} a_{11}\xi _1\eta _1 + a_{12}\xi _1 \eta_2 + ... + a_{1n}\xi _1\eta_n+\\ \\ +a_{21}\xi _2\eta _1 + a_{22}\xi _2 \eta_2 + ... + a_{2n}\xi _2\eta_n+\\ \\ .........................................................\\ \\ +a_{n 1}\xi _n\eta _1 + a_{n 2}\xi _n \eta_2 + ... + a_{nn}\xi _n\eta_n. \end{matrix}$$

Если расположить эту сумму в виде матрицы - как она у нас и расположена, - можно представить ее как матрицу, все элементы которой складываются между собой. Такую матрицу можно назвать аддитивной матрицей и обозначить $\textbf{A}^{ad}$:

$$\textbf{A}^{ad}={\begin{pmatrix} a_{11}\xi _1\eta _1& a_{12}\xi _1 \eta_2& \ldots& a_{1n}\xi _1\eta_n\\ \\ a_{21}\xi _2\eta _1& a_{22}\xi _2 \eta_2& \ldots& a_{2n}\xi _2\eta_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}\xi _n\eta _1& a_{n 2}\xi _n \eta_2& \cdots& a_{nn}\xi _n\eta_n \end{pmatrix}}^{ad}= \sum\limits_{i,k = 1}^n a_{ik} \xi _i \eta _k=f(\vec x)g(\vec y)=A(\vec x; \vec y).$$

Из нее можно выделить матрицу $\textbf{A}$ билинейной формы $A(\vec x;\vec y)$

$$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}$$

Если умножить ее на координаты векторов $\vec x, \vec y$ по правилу перемножения матриц ($\vec x$ слева, $\vec y$ справа), то получим аддитивную матрицу $\textbf{A}^{ad}$:

$$(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \vdots\\ \eta_n \end{pmatrix}={\begin{pmatrix} a_{11}\xi _1\eta _1& a_{12}\xi _1 \eta_2& \ldots& a_{1n}\xi _1\eta_n\\ \\ a_{21}\xi _2\eta _1& a_{22}\xi _2 \eta_2& \ldots& a_{2n}\xi _2\eta_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}\xi _n\eta _1& a_{n 2}\xi _n \eta_2& \cdots& a_{nn}\xi _n\eta_n \end{pmatrix}}^{ad}.$$

Поскольку $a_{ik} =\tilde a_i \tilde b_k$, матрица $(a_{ik})$ может быть представлена как матрица $(\tilde a_i \tilde b_k)$, причем матрица $(\tilde a_i \tilde b_k)$ получается в результате тензорного перемножения матриц линейных функций (линейных форм) $f(\vec x)$ и $g(\vec y)$:

$$ \begin{pmatrix} \tilde a_1\\ \tilde a_2\\ \vdots\\ \tilde a_n \end{pmatrix} (\tilde b_1, \tilde b_2, ..., \tilde b_n)=\begin{pmatrix} \tilde a_1 \tilde b_1& \tilde a_1 \tilde b_2& \ldots& \tilde a_1 \tilde b_n\\ \\ \tilde a_2 \tilde b_1& \tilde a_2 \tilde b_2& \ldots& \tilde a_2 \tilde b_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \tilde a_n \tilde b_1& \tilde a_n \tilde b_ 2& \cdots& \tilde a_n \tilde b_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}.$$

[Otta]

А в чем хотелось убедиться-то?

[Vladimir Pliassov]

В том, что правильно понимаю.

[Otta]

Что именно? Билинейность лучше так и понимать по определению, Вами приведенному. Буквально. Не видно, чтобы Вы попытались.
Можете пользоваться записью $B(x,y)=x^TAy$, громоздкая запись в виде простыни, все поэлементно, пониманию только мешает.

Во втором пункте тоже лучше использовать компактную запись.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1470130 писал(а):

громоздкая запись в виде простыни, все поэлементно, пониманию только мешает.

На мой взгляд, не мешает, а помогает. Мне в учебниках не хватает именно подробностей и очевидности.

[Otta]

Ваше право. Но линейность по $x$ проверьте для начала. По мне, она наиболее очевидным образом проверяется в моей записи. Но как угодно.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо за идею. Я попробую.