Уравнение в рациональных числах

[nnosipov]

Andrey A
На всякий случай: когда я пишу "решить уравнение", я имею в виду найти все его решения. Вот при $a=-2$ действительно не знаю, как это сделать. (Не прибегая к СКА, конечно.)

[Andrey A]

Само собой. Тут разночтений быть не может.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1469821 писал(а):

Тут разночтений быть не может.

Согласен. Но здесь на форуме такое бывало, поэтому на всякий случай решил предупредить.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1469813 писал(а):

scwec в сообщении #1469805
писал(а):
Исходное уравнение имеет рациональные решения, отличные от (0,0) только если $(1)$ имеет ненулевой ранг. А при каких $a$ не имеет? Дайте хотя бы один пример.

При тех $a$, которых нет в приведенных мной списках.
В первом списке нет $a=1,2,4,5,7,9,11,12,13,16,18,19,20,22,23,25.....$
Во втором списке нет $a=-1,-2,-3,-4,-6,-8,-9,-10,-11,-15,-16,-18......$
При этих $a$ и бесконечном количестве других, кривые $(1)$ имеет нулевой ранг и
искать рациональные решения исходного уравнения не следует, ввиду отсутствия таковых решений.
Приведенные мной списки можно продолжать, пока хватит терпения и ресурсов.

[Andrey A]

(dmd)

dmd в сообщении #1469781 писал(а):

То же самое часто хотел сказать в Вашей теме...

Да, грешен. Но впасть в занудство — еще больший грех, тут уж... По поводу сумм квадратов — смотрите книгу Острик - Цфасман "Алгебраическая геометрия и теория чисел. Рациональные и эллиптические кривые". В самом конце разбирается уравнение $x^2+y^2+z^2=1$. Тот счастливый случай, когда теория эллиптических кривых дает общее решение, оно выражается тождеством

$$\left ( \dfrac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1} \right )^2+\left ( \dfrac{2a}{a^2+b^2+1} \right )^2+\left ( \dfrac{2b}{a^2+b^2+1} \right )^2=1.$$

Если тройка $x_0,y_0,z_0$ образует некоторое решение, то пара $a,b$ определена: $\dfrac{y_0}{1-x_0}=a,\ \dfrac{z_0}{1-x_0}=b.$ Можно сомневаться в эллиптических кривых, но не в арифметических операциях. Недавно понадобилось решение для четырех квадратов, взял тождество Эйлера и получил неожиданно совершенно аналогичное решение:

$$\left ( \dfrac{a^2+b^2+c^2-1}{a^2+b^2+c^2+1} \right )^2+\left ( \dfrac{2a}{a^2+b^2+c^2+1} \right )^2+\left ( \dfrac{2b}{a^2+b^2+c^2+1} \right )^2+\left ( \dfrac{2c}{a^2+b^2+c^2+1} \right )^2=1.$$

Подставляйте теперь вместо $a,b,c$ соответственно $ai,bi,ci$, где $i=\sqrt{-1}$, и получите такие же решения с нужными знаками. В их общности сомневаться не приходится, поскольку обратная связь та же самая: $\dfrac{y_0}{1-x_0}=a,...$ и т.д. Более того, имея на руках выражение вроде Вашего $\Bigl(2 (2 x y)^2 + 1\Bigr)^2 + \Bigl(4 (z^3 - n)\Bigr)^2 - \Bigl(4 x y (2 x y + 1)\Bigr)^2 - \Bigl(4 (2 y^3 + z^3 - n)\Bigr)^2 = 1$, можно сразу выбрать удобный квадрат (например $1-\left ( 2(2xy)^2+1 \right )=-2(2xy)^2$) и записать $\dfrac{4(z^3-n)}{-2(2xy)^2}=a,...$ и т.д. Но это только присказка, выражения-то будут получены для $a,b,c$, но не для $x,y,z,n$. А нужно наоборот, имеем новую систему уравнений, и вот тут начинается сказка.

Настоящая тема и выросла из такого приравнивания)) Удачи.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1469719 писал(а):

Принимает ли функция $\dfrac{x}{y(x^2-xy+1)}$ при рациональных аргументах $x$, $y$ все рациональные значения --- это уже другой вопрос (по-моему, он тоже нетривиальный в случае положительного ответа). В любом случае, я над ним не думал.

Вот теперь подумал. К счастью, ответ отрицательный: значения $a \in \{-1,1/2,2\}$ не достигаются. Ну и еще куча других от scwec (кроме $a=1$, которое возможно).

[scwec]

nnosipov в сообщении #1469942 писал(а):

(кроме $a=1$, которое возможно).

Действительно возможно. В список $a=1$ попала в автомате, в этом случае эллиптической кривой нет.

[scwec]

Приведу ещё два частных параметрических решения исходного уравнения, используя уравнение $(1)$ и полагая для него $u=(s^2+1)a^2$
1. Для $a=\dfrac{t^2}{(t^2-1)(s^2+1)}$
$x=-\dfrac{1}{ts}, y=-\dfrac{s(t^2-1)}{t}$

2.Для $a=-\dfrac{1}{(s^2+1)(t^2-1)}$
$x=\dfrac{t}{s}, y=-\dfrac{s(t^2-1)}{t}$

[Andrey A]

С решить/разобраться всё в порядке, узнал много новых слов. Ok. Частные решения не столь актуальны, поскольку выражения

$$a=\dfrac{x^2(n+1)^2}{n(x^2-1)(x^2+2n+1)},y_1=\dfrac{x^2+2n+1}{x(n+1)},\ y_2=\dfrac{n(x^2-1)}{x(n+1)}$$

и так образуют общее решение для произвольного $x$. Вопрос "узнаваемости" $a$ вынесем пока за скобки.
scwec, если правильно понял, исследуя указанную Вами кривую, можем точно сказать, разрешимо ли уравнение для конкретного $a$ и, если да, найти как минимум одно-два численных решения. Ну, Вы можете. Неважно. Возьмем $a=3.$

scwec в сообщении #1469805 писал(а):

Для $a=3$, например, $u=12,w=18, x=-3/2,y=-1/6$ или $u=27,w=108, x=-2/3,y=-1/6$ и т.д. ..
Об общем решении и речи быть не может.

Перепишем основное уравнение так: $y=\dfrac{x^2+1}{2x}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{x^2+1}{2x} \right )^2-\dfrac{1}{3}}.$ Имеем под радикалом уравнение $\left ( \dfrac{x^2+1}{2x} \right )^2-\dfrac{1}{3}=D^2$ и одну-две рациональных точки (решения). Оно не парабола, конечно. Не проясняет это ситуацию?

[scwec]

Andrey A в сообщении #1470055 писал(а):

scwec, если правильно понял, исследуя указанную Вами кривую, можем точно сказать, разрешимо ли уравнение для конкретного $a$

Вы правильно поняли, так и есть. Неразрешимость или разрешимость исходного уравнения в рациональных числах зависит от равенства или неравенства нулю ранга кривой
$w^2=u^3-(a+a^2)u^2+a^3{u}\qquad(1)$ (кроме $a=1$, когда эта кривая не является эллиптической и ранга у неё нет).
Что до приведенных мной частных параметрических решений,то там просто показано, как можно найти параметрическое задание $a$, при которых ранг кривой $(1)$ больше нуля.
По поводу $a=3$, приведенные вычисления ситуацию не меняют.
Уравнение под радикалом эквивалентно уравнению эллиптической кривой $w^2=(u-320)(u+64)(u+256)$ и находить придется все рациональные точки на ней.

[Andrey A]

Что ж, еще раз спасибо!