Экстремум функции двух переменных

[pmu_1]

Нужно исследовать на экстремум функцию двух переменных
$f(x,y)=\sin(x)+\sin(y)+\cos(x+y)$ внутри $K = \left\lbrace (x,y): 0\leqslant x \leqslant \pi , 0\leqslant y \leqslant \pi \right\rbrace$

Нашел производные, приравнял их к нулю и составил систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos(x) - \sin(x+y)=0 \\ \cos(y) - \sin(x+y)=0 \\ \end{array} \right.$$

Дальше нужно найти такие $x,y$ для которых будут выполняться равенства системы. Если из второго уравнение выразить синус и подставить его в первый, то получится, что $\cos(x) = \cos(y) $ и подходят все $x$ которые равны $y$. Как в таком случае искать экстремумы?

[kotenok gav]

pmu_1 в сообщении #1469559 писал(а):

подходят все $x$ которые равны $y$.

Вы уверены?

[Mihr]

pmu_1, как правило, одно уравнение не равносильно двум (в смысле, не равносильно системе из двух уравнений). И в данном случае так: произвольно выбрасывая одно уравнение, вы приобретаете лишние "решения".

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

Красивая функция

[york]

pmu_1 в сообщении #1469559 писал(а):

подходят все $x$ которые равны $y$.

$\cos(x) - \sin(2x)=0$
А $x$ то какой?

[pmu_1]

Осознал, $x=y$ плохая идея.
По графику видно, что минимумы это $(\pi,0)$ , $(0,\pi)$,
а максимум $(0,0)$
Но все эти точки почему-то не удовлетворяют системе. Есть ли возможность найти эти точки без графика?

[vpb]

А Вы вообще решить данную систему тригонометрических уравнений можете ?

[Ksanty]

pmu_1,
Если вспомните, что $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
то сразу поймёте, что решения этой систему это $x = \frac{\pi}{6},y = \frac{\pi}{6}$.
А в этой точку достигается и $\max\limits_{x,y}f(x,y)=\frac{3}{2}$
минимум достигается в двух точек - для $x = 0,y = \pi$ и $x = \pi,y = 0$, $\min\limits_{x,y}f(x,y)= 0$

[Markiyan Hirnyk]

Следует уточнить, какие экстремумы ищутся: локальные или глобальные? Кстати, по терминологии книги В. Зорич, Математический анализ, предложенная функция не имеет локальных минимумов на рассматриваемом квадрате, хотя принимает минимальное значение на этом квадрате в двух его точках.

[pmu_1]

vpb в сообщении #1469601 писал(а):

А Вы вообще решить данную систему тригонометрических уравнений можете ?

В этом и проблема. Данную систему не могу. Интуитивно понятно где минимумы(написал выше), где максимумы(тоже написал, но ошибся). Хотелось бы конечно разобраться в этом, но пока не нашел похожих примеров

-- 20.06.2020, 11:36 --

Разобрался, нужно использовать разность косинусов

[nnosipov]

pmu_1 в сообщении #1469718 писал(а):

В этом и проблема. Данную систему не могу.

Но это же обычная школьная тригонометрия, простая задача. Или Вы школьник?

-- Сб июн 20, 2020 14:39:02 --

pmu_1 в сообщении #1469718 писал(а):

Разобрался, нужно использовать разность косинусов

Вот и хорошо.

[vpb]

pmu_1 в сообщении #1469718 писал(а):

В этом и проблема. Данную систему не могу.

Да уж это проблема ! Если такую систему решить не можете, какой уж тут минимум функции на квадрате...

pmu_1 в сообщении #1469718 писал(а):

Разобрался, нужно использовать разность косинусов

А вы напишите подробности, а мы (я или кто еще) посмотрим. А то, может быть, вы только думаете, что разобрались, а на самом деле нет. Если хотите, конечно.