(Не)открытое множество

[thething]

Добрый день. Подвернулась задача: исследовать на открытость множество $S=\left\lbrace f\in L_2[0,1]:\;\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx<1\right\rbrace$. Пытался проверить открытость по определению: не получается согласовать интеграл от квадрата модуля, стоящий в определении шара и интеграл, стоящий в определении $S$. По той же причине не получается проверить непрерывность отображения $\varphi(f)=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx$.

Думал подобрать последовательность, элементы которой не лежат в множестве, но которая сходится к элементу множества (хотел сходимость к нулю), но тут тоже: какие бы примеры ни рассматривал -- или последовательность лежит в множестве и сходится к нулю, или не лежит, но и к нулю не сходится. Рассматривал разные варианты индикаторов с множителями, зависящими от $n$. Может кто-нибудь помочь, куда тут вообще думать-то?

[DeBill]

Открытость означала бы, что функция $\frac{1}{\sqrt{x}}$ лежит в сопряженном пространстве (ибо у нуля была бы цельная окррестность наподобие шара, там же лежащая, что и дает ограниченность соответствующего функционала), а она там не лежит....
Ну, или посмотреть на функцию $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(\ln\frac{2}{x})^{\frac{3}{4}}}$, типа....

[vpb]

Дык, оно и неверно. В смысле, множество это не открыто. Корень смущает, наверное. Заметьте, что существуют функции $f$, интегрируемые на $[0,1]$, равные нулю на $[0, 1/2]$ (чтобы корень не мешал), но не интегрируемые с квадратом на $[0,1]$.

(уже ответили, пока я писал...)

[thething]

DeBill, vpb
Я отсутствие открытости и подозревал, примеры подбирал... Но, видимо, слишком простые. Хотя, до примера с логарифмом можно было и догадаться. Спасибо большое!

Только я не очень понял насчёт сопряжённого пространства, тут же не линейный функционал...

[DeBill]

thething в сообщении #1469492 писал(а):

тут же не линейный функционал...

Ну, если модуль убрать - будет линейный...

vpb в сообщении #1469484 писал(а):

но не интегрируемые с квадратом на $[0,1]$.

Корень - как раз важен. Если множитель под интегралом - ограничен, открытость будет....

[vpb]

DeBill в сообщении #1469493 писал(а):

Корень - как раз важен. Если множитель под интегралом - ограничен, открытость будет...

Да, это у меня тово, шарики за ролики Старею, что ли...