Эквивалентность аксиомы откладывания угла в учебниках

[mathinprivate]

Здравствуйте! У меня появилась необходимость доказать нужную мне теорему в геометрической аксиоматике Колмогорова. В учебнике Атанасяна приводится приводится она как аксиома откладывания угла: "От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, конгруэнтный данному неразвёрнутому углу, и притом только один"; и моя эквивалентная: "В полуплоскости с границей j существует единственный угол со стороной j, конгруэнтный данному углу". В учебнике Колмогорова есть эквивалентная (наверное, эквивалентная!) данной аксиома (аксиома подвижности): для любой пары лучей $O_1A_1$ и $O_2A_2$ и примыкающих к ним полуплоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$ существует единственное перемещение, отображающее луч $O_1A_1$ на луч $O_2A_2$, а полуплоскость $\alpha_1$ на $\alpha_2$. Мои попытки таковы.
Пусть $OA$ - данный луч, $BCD$ - данный угол. Зададим перемещение $f: [CB)\to[OA), [CB, D)\to\alpha$ ($\alpha$ - одна из полуплоскостей, определяемых лучом $OA$). Тогда $\angle BCD\to AOD': \angle AOD' = \angle BCD,D'\in\alpha$. Получается, $\angle AOD'$ - искомый, т.е. от любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, конгруэнтный данному. А вот с тем, чтобы доказать, что такой угол единственный - тупик! Помогите, пожалуйста!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Результат тем не менее жутковат. Во-первых, не надо набирать формулы по кусочкам (каждая формула целиком должна быть окружена долларами, а вот внутри они не нужны), во-вторых, зачем вам столько жирных букв (и не только букв)? \mathbf{} просто лишний.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[BVR]

Вообще-то, аксиома Колмогорова о подвижности звучит иначе. Скорее, это теорема.
Но, если уж Вы хотите вывести из второго первое, то предположите, что есть еще один такой угол и получИте противоречие с едиственностью перемещения, вспомнив, что тождественное отображение тоже перемещение.
P. S. А та аксиома, что вы привели, больше напоминает аксиому Атанасяна о наложениях

[BVR]

Прочитал еще раз первый пост. По-моему речь идет о доказательстве аксиомы из учебника Погорелова как теоремы по аксиоматике из учебника Атанасяна. А от Колмогорова использовано только слово "перемещение".

[mathinprivate]

BVR в сообщении #1469649 писал(а):

Прочитал еще раз первый пост. По-моему речь идет о доказательстве аксиомы из учебника Погорелова как теоремы по аксиоматике из учебника Атанасяна. А от Колмогорова использовано только слово "перемещение".

Спасибо за помощь! К счастью, мне уже с сегодняшнего утра удалось догадаться до решения. А насчёт этой аксиомы (аксиомы подвижности), она действительно из учебника геометрии Колмогорова (6-8 классы). Дело в том, что я решил использовать строго аксиоматику Колмогорова, а эта теорема (она же аксиома из учебника Атанасяна) мне нужна как лемма для доказательства того, что поворот есть движение (в учебнике эта теорема принимается без доказательства).

[vpb]

mathinprivate в сообщении #1469664 писал(а):

К счастью, мне уже с сегодняшнего утра удалось догадаться до решения.

Неужто ? Было бы очень любопытно увидеть ! (Я, между нами говоря, думаю, что у Вас где-то ошибка или дыра).

[mathinprivate]

vpb в сообщении #1469668 писал(а):

mathinprivate в сообщении #1469664 писал(а):

К счастью, мне уже с сегодняшнего утра удалось догадаться до решения.

Неужто ? Было бы очень любопытно увидеть ! (Я, между нами говоря, думаю, что у Вас где-то ошибка или дыра).

По крайней мере, я им (на своём школьном уровне) удовлетворён!
<...> Предположим, что существует $\angle AOK: K\in \alpha, K\notin[OD'), \angle AOK=\angle BCD$. Но тогда существует и перемещение $g: [CB) \to [OA), [BC,D) \to \alpha$, но(!) $[CD)\to [OK)$. Получаются два принципиально разных перемещения (один и тот же луч полуплоскости переходит в два различных луча) $f,g$, что противоречит аксиоме подвижности о единственности такого перемещения. Стало быть, лучи $OD', OK$ совпадают, а значит, $\angle AOD'$ - единственный.

-- 19.06.2020, 22:55 --

В любом случае, буду рад критике!

[vpb]

mathinprivate
У Вас, видите ли, неявно присутствует мысль, что любая конгруэнтность между двумя фигурами (т.е. биекция, сохраняющая расстояния), получается из перемещения плоскости. Это необоснованное утверждение.

[mathinprivate]

vpb
Вы имеете в виду, что такое отображение будет не всегда являться отображением плоскости на себя?

[vpb]

Отображением плоскости на себя оно вообще не является, по определению. Это отображение одной фигуры на другую. Но некоторые отображения фигуры на фигуру получаются из отображения плоскости на себя (ограничением на данную фигуру), а другие нет.

[mathinprivate]

vpb
Ввиду моей малой (по сравнению с вашей) осведомленности в теории множеств, я прошу Вас конкретно указать на мою ошибку в доказательстве, и быть может, на способ построить свои рассуждения другим путём.

-- 20.06.2020, 00:40 --

vpb
Кажется, я пользовался не тем, что любое отображение, сохраняющее расстояния - перемещение, а тем, что любое перемещение отображает фигуру на конгруэнтную ей фигуру.

[vpb]

mathinprivate в сообщении #1469687 писал(а):

я прошу Вас конкретно указать на мою ошибку в доказательстве,

Да я Вам на нее указал, а Вы просто не поняли. Я уж не знаю, как лучше объяснить ... Лучше, извините, не могу. Там, вообще, мысль довольно тонкая. Прямо сейчас она до Вас не дойдет, скорее всего. Можно надеяться, что дойдет со временем. Или лучше бы Вы на это сейчас вообще забили...

[mathinprivate]

vpb
Наверное, не обладая достаточным аппаратом, я пока не смогу понять вашу "тонкую мысль". Кажется, на данный момент, самое главное, что я удовлетворён своим доказательством на том уровне, который я имею сейчас. Извините за излишнее, быть может, беспокойство! Всё равно - большое Вам спасибо за помощь!

[vpb]

Пожалуйста.