2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение17.06.2020, 14:59 


19/04/20
23
Доброго времени суток!
Условие задачи: Пусть $E=M^n$ - комплексное евклидово пространство $(n \times n)$-матриц ( с комплексными элементами ) со скалярным произведением $(a,b) = Tr(ab^*)$. Пусть $F = \left\lbrace a\in M^n : Tr(a) = 0 \right\rbrace $
- подпространство матриц с нулевым следом. Найдите ортогональное дополнение к F.

Очевидно, что размерность $F= n^2-1$, а значит размерность ортогонального дополнения равняется $1$.

Каждый элемент ортогонального дополнения ортогонален элементу из $F$, т.е. их скалярное произведение равно нулю.
Пусть матрица $a\in F$, а $b\in F^\perp$. Тогда их скалярное произведение будет равно
$$\sum \limits_{i,j=1}^{n}b_i_j\overline{a_j_i}=0$$

Что делать дальше?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение17.06.2020, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9541
Цюрих
Это скалярное произведение должно быть нулевым для любой матрицы $a$. Что будет, если взять в качестве $a$ матрицу, у которой ровно один ненулевой элемент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение17.06.2020, 19:02 


19/04/20
23
Да, это должно выполняться для любой матрицы $a$.

Если взять матрицу $a$ такую, что у неё ровно один ненулевой элемент ( пусть для определённости это будет $a_i_j$ ), то их скалярное произведение будет $\overline{a_i_j}b_j_i$. Очевидно, что это нас не устраивает, значит, элемент матрицы $b_j_i$ должен быть равен нулю. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение17.06.2020, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9541
Цюрих
glissade в сообщении #1469292 писал(а):
значит, элемент матрицы $b_j_i$ должен быть равен нулю. Так?
Да, так. Только это выполнено конечно не для всех пар $i, j$ а только для каких-то - для каких?
Дальше, предположим что у $a$ ровно два ненулевых элемента, и они оба на диагонали. Что тогда получится из ортогональности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение17.06.2020, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12987
А можно случайно взять единичную матрицу и сказать "Оп-ля, получилось..."?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональное дополнение для подпространства
Сообщение18.06.2020, 03:28 


19/04/20
23
Я, кажется, понял.

Я действовал так: "случайно" взял единичную матрицу и, бинго, всё получилось! Очевидно, что это прямое дополнение к $F$, а значит, оно единственное. Получается, базис в $F^\perp$ есть единичная матрица, а прямое дополнение единственно для $F$. И по размерности как раз всё подходит. Это годится для решения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Brizon


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group