Ортогональное дополнение для подпространства

[glissade]

Доброго времени суток!
Условие задачи: Пусть $E=M^n$ - комплексное евклидово пространство $(n \times n)$-матриц ( с комплексными элементами ) со скалярным произведением $(a,b) = Tr(ab^*)$. Пусть $F = \left\lbrace a\in M^n : Tr(a) = 0 \right\rbrace $
- подпространство матриц с нулевым следом. Найдите ортогональное дополнение к F.

Очевидно, что размерность $F= n^2-1$, а значит размерность ортогонального дополнения равняется $1$.

Каждый элемент ортогонального дополнения ортогонален элементу из $F$, т.е. их скалярное произведение равно нулю.
Пусть матрица $a\in F$, а $b\in F^\perp$. Тогда их скалярное произведение будет равно

$$\sum \limits_{i,j=1}^{n}b_i_j\overline{a_j_i}=0$$

Что делать дальше?..

[mihaild]

Это скалярное произведение должно быть нулевым для любой матрицы $a$. Что будет, если взять в качестве $a$ матрицу, у которой ровно один ненулевой элемент?

[glissade]

Да, это должно выполняться для любой матрицы $a$.

Если взять матрицу $a$ такую, что у неё ровно один ненулевой элемент ( пусть для определённости это будет $a_i_j$ ), то их скалярное произведение будет $\overline{a_i_j}b_j_i$. Очевидно, что это нас не устраивает, значит, элемент матрицы $b_j_i$ должен быть равен нулю. Так?

[mihaild]

glissade в сообщении #1469292 писал(а):

значит, элемент матрицы $b_j_i$ должен быть равен нулю. Так?

Да, так. Только это выполнено конечно не для всех пар $i, j$ а только для каких-то - для каких?
Дальше, предположим что у $a$ ровно два ненулевых элемента, и они оба на диагонали. Что тогда получится из ортогональности?

[Утундрий]

А можно случайно взять единичную матрицу и сказать "Оп-ля, получилось..."?

[glissade]

Я, кажется, понял.

Я действовал так: "случайно" взял единичную матрицу и, бинго, всё получилось! Очевидно, что это прямое дополнение к $F$, а значит, оно единственное. Получается, базис в $F^\perp$ есть единичная матрица, а прямое дополнение единственно для $F$. И по размерности как раз всё подходит. Это годится для решения?