Дифференцируемость и аналитичность функции компл.переменного

[_DimONN_]

Начал изучать комплексный анализ и не могу понять способ определения аналитичности.

Пример функции:

$ f(z)= \operatorname{Im} z^2$

Откуда $ f(z)= 2xy + i \cdot 0$.

Тогда $ U(x,y)= 2xy$ и $ V(x,y)= 0$.

Cоответственно $\dfrac{dU}{dx}= 2y$, $\dfrac{dU}{dy}= 2x$, $\dfrac{dV}{dx}= 0$ и $\dfrac{dV}{dy}= 0$. Что означает выполнение 2-го и 3-го условия Коши-Римана (условий дифференцированности) - функция дифференцируема в точке $ (0,0)$. Также я проверил cуществование $\lim\limits_{z\to 0}^{}\dfrac{f(z)-f(0)}{z}= 0$, то есть 1-е условие Коши-Римана, используя $x=\rho \cos t$ и $y=\rho \sin t , t \in [0,2\pi]$.

Как проверить аналитичность функции? То есть дифференцированность в окресности точки $ (0,0)$?

Спасибо.

[kotenok gav]

Очевидно, что условия Коши-Римана для этой функции выполняются только в точке $(0, 0)$. Значит, и аналитична она только в этой точке.

[Red_Herring]

_DimONN_ в сообщении #1469126 писал(а):

Тогда $ U(x,y)= 2xy$и $ V(x,y)= 2xy$

В самом деле?

_DimONN_ в сообщении #1469126 писал(а):

Cоответственно $\dfrac{dU}{dx}= 2y$

Правильно пишите частные производные.

_DimONN_ в сообщении #1469126 писал(а):

Что означает выполнение 2-го и 3-го условия Коши-Римана (условий дифференцированности) - функция дифференцируема

Как функция 2х переменных, но не как комплекная функция комплексного переменного. Читайте определение в учебнике.

[_DimONN_]

Спасибо за ответы и правки!
То есть если существует $\lim\limits_{z\to z_0}^{}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}= 0$ в точке $z_0$, то функция комплексного переменного дифференцируема в точке $z_0$, а если выполняются все условия Коши-Римана, то аналитична в точке $z_0$? По определению $f(z) $ аналитична если она дифференцируема в некоторой окрестности точки $z_0\in \mathbb{C} $. Как понять, что она дифференцируема именно в некоторой окрестности точки?

-- 16.06.2020, 20:31 --

Поправил), спасибо.

[Otta]

_DimONN_
А напишите критерий Коши-Римана, пожалуйста. Какой он у Вас?

[_DimONN_]

Чтобы функция $f(z)=U(x,y)+iV(x,y)$, определенная в некоторой окрестности $U(z_0)$ точки $z_0=x_0+iy_0 \in \mathbb{C}$, была дифференцируемой в точке $z_0=x_0+iy_0 \in \mathbb{C}$ как фунция комплексного переменного, необходимо и достаточно чтобы действительные функции $U(x,y),V(x,y)$ были дифферецируемы в точке $(x_0,y_0)$ как функции двух действительных переменных и их частные производные удовлетворяли в этой точке соотношениям: $\dfrac{\partial U}{\partial x}=\dfrac{\partial V}{\partial y}$$ и $\dfrac{\partial U}{\partial y}= - \dfrac{\partial V}{\partial x}$.

[Otta]

Хорошо. Хорошая формулировка. И где тут первое, второе и третье условия?

Кстати, Вам уже говорили, пишите частные производные.
\partial f $\partial f$ -- вот такая буковка там должна быть.

[_DimONN_]

Да, Вы правы). Первое это я притянул из существования предела. Второе и третье это собственно дифференцируемость действительных функций и выполнение соотвествующих равенств. А где же тогда аналитичность? Потому что по определению:

Функция $f(z)$, дифференцируемая в некоторой окрестности точки $z_0 \in \mathbb{C}$, называется аналитической в точке $z_0 \in \mathbb{C}$

Окрестность в условии Коши-Римана необходима как область определения, но не дифференцированности. В то время как аналитичность требует дифференцируемость и в окрестности.

[Otta]

_DimONN_
Ну так и в каких точках функция дифф-ма по критерию? Все укажите.

[_DimONN_]

Только в точке $z_0$.

[Otta]

_DimONN_
Критерий-то примените.

[_DimONN_]

Только в точке $ z_0=0+i 0 $.

[Brukvalub]

_DimONN_ в сообщении #1469143 писал(а):

По определению $f(z) $ аналитична если она дифференцируема в некоторой окрестности точки $z_0\in \mathbb{C} $. Как понять, что она дифференцируема именно в некоторой окрестности точки?

Проверить $C$-дифференцируемость во всех точках некоторой окрестности точки.

[Otta]

_DimONN_ в сообщении #1469160 писал(а):

Только в точке $ z_0=0+i 0 $.

Хорошо. Если только в ней, в окрестности дифференцируема?

[_DimONN_]

Цитата:

Хорошо. Если только в ней, в окрестности дифференцируема?

Да, потому как должен быть лимит, а лимит по сути берет точку $z$, которая $\to z_0$, из окрестности. Так?