ядро однозначно задано циклическим модулем

[beroal]

Читаю книгу по теории модулей. Рассматриваются только кольца с единицей.

Цитата:

На самом деле мы докажем, как может показаться, более сильный результат, что идеал $I$ однозначно задан классом изоморфизма циклического модуля. Предположим, что $M$ и $N$ — циклические левые $R$-модули и имеется гомоморфизм $R$-модулей

$$\sigma: M\to N.$$

Пусть $I$ и $J$ — левые идеалы $R$, то есть имеются изоморфизмы

$$\alpha: R/I\to M \text{ и } \beta: R/J\to N.$$

Тогда существует составной изоморфизм

$$\gamma = (\beta)^{-1} \sigma \alpha: R/I\to R/J.$$

Если $x\in J$, тогда в $R/J$

$$\overline{0} = x\cdot \gamma(\overline{1}) = \gamma(\overline{x}),$$

так что $\overline{x} = \overline{0}$ в $R/I$, откуда следует $x\in I$. Поэтому $J\subseteq I$, и по симметрии $I=J$.

Мне кажется, что доказательство равенства $\overline{0} = x\cdot \gamma(\overline{1})$ требует, чтобы $R$ было коммутативным. Дело в том, что в книге не написано, что мы рассматриваем только коммутативные кольца, ни в определении кольца, ни в начале главы.

Доказательство выглядит так. Если $x\in J$, для любого $y\in R$,

$$x\cdot \overline{y} = \overline{xy} = \overline{yx} = \overline{0},$$

так как $yx\in J$. Доказательство использует коммутативность.

Я придумал следующий контрпример. Взять линейные операторы на $\mathbb{Z}^2$ в качестве $R$, множество всех линейных операторов, ядро которых включает $\{0\}\times \mathbb{Z}$ в качестве $J$. Тогда $x\cdot \overline{y} \neq \overline{0}$ для некоторых $x$ и $y$. Но это контрпример для равенства, а не для всей теоремы.

Так я прав, что надо добавить условие, что $R$ коммутативно?

[Xaositect]

Единица же по определению коммутирует с любым $x$.

-- Сб июн 13, 2020 15:10:38 --

И вообще что-то Вы перемудрили, $x \gamma(\bar{1}) = \gamma(x \cdot \bar{1}) = \gamma(\overline{x\cdot 1}) = \gamma(\bar{x})$.

UPD: это я дурак, извините.

[beroal]

Xaositect в сообщении #1468695 писал(а):

И вообще что-то Вы перемудрили, $x \gamma(\bar{1}) = \gamma(x \cdot \bar{1}) = \gamma(\overline{x\cdot 1}) = \gamma(\bar{x})$.

Это вы доказали $x\cdot \gamma(\overline{1}) = \gamma(\overline{x})$, а мне надо $\overline{0} = x\cdot \gamma(\overline{1})$.

Xaositect в сообщении #1468695 писал(а):

Единица же по определению коммутирует с любым $x$.

Что это даёт? Дано $\overline{x} = \overline{0}$ в $R/J$, надо доказать $\overline{0} = x\cdot \gamma(\overline{1})$ в $R/J$.

Начёркивание обозначает и $R\to R/J$, и $R\to R/I$. Такое обозначение в книге.

Как доказать $\overline{0} = \gamma(\overline{x})$, я тоже не вижу, так как здесь надчёркивание означает $R\to R/I$.

[vpb]

Коммутативность необходима. Да хоть Ваш же собственный пример, только над полем, а не над ${\mathbb Z}$. Рассмотрим кольцо $R$ всех $2\times2$ матриц с коэффициентами в данном поле $K$. И найдите там два различных левых идеала, факторы по которым изоморфны (и однопорождены, т.е. циклические модули).

Впрочем, для кольца матриц над ${\mathbb Z}$ этот пример тоже проходит.

[beroal]

vpb в сообщении #1468708 писал(а):

Рассмотрим кольцо $R$ всех $2\times2$ матриц с коэффициентами в данном поле $K$. И найдите там два различных левых идеала, факторы по которым изоморфны (и однопорождены, т.е. циклические модули).

Я думаю взять $I = \{T \mid \forall x, T(x, 0) = 0\}$ и $J = \{T \mid \forall y, T(0, y) = 0\}$. Тогда $f: R\to R$, заданная с помощью $f(T) = T\circ ((x, y)\mapsto (y, x))$ будет автоморфизмом модуля $R$, который отображает $I$ в $J$. Тогда $f$ превращается в изоморфизм из $R/I$ в $R/J$.

Тогда стоит написать данные книги. В целом книга мне нравится, всё расписано понятно. Видимо, одиночный глюк.
Keating, M. E. A First Course in Module Theory. Imperial College Press, 1998.
6.4 Cyclic modules. Page 95.

[vpb]

Да, правильно. Только у Вас, кажется, с обозначениями что-то не то (вроде того, что правое с левым перепутано. Разбираться в деталях лень, впрочем. Поздно уже.)