Способы генерации Пифагоровых троек

[Soul Friend]

Есть формула Евклида с параметрами $m, n$,
а также способ, который предложили в 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин:
ananserr.narod.
Какие ещё есть способы и формулы для генерации всех Пифагоровых троек?

[vicvolf]

Вы бы лучше ссылки делали нормальные, а не рекламные.

[tolstopuz]

Дерево примитивных пифагоровых троек

[Soul Friend]

предлагаю двоичное дерево примитивных троек:
1)метод Евклида $x=m^2-n^2$, $y=2mn$, $z=m^2+n^2$
из неё образуются две примитивные тройки:
2)$x=m^4-n^2$, $y=2m^2n$, $z=m^4+n^2$
3)$x=m^4-n^4$, $y=2m^2n^2$, $z=m^4+n^4$
При желании можно добавить ещё одну ветвь, я так думаю.
Но я сейчас работаю над другим способом, похожий на способ предложенный американцами.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1381943 писал(а):

предлагаю двоичное дерево примитивных троек:
1)метод Евклида $x=m^2-n^2$, $y=2mn$, $z=m^2+n^2$
из неё образуются две примитивные тройки:
2)$x=m^4-n^2$, $y=2m^2n$, $z=m^4+n^2$
3)$x=m^4-n^4$, $y=2m^2n^2$, $z=m^4+n^4$
При желании можно добавить ещё одну ветвь, я так думаю

Добавляю ещё одну:

4)$x=n^4-m^2$, $y=2mn^2$, $z=m^2+n^4$
Вуаля, получилось троичное дерево.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1381972 писал(а):

4)$x=n^4-m^2$, $y=2mn^2$, $z=m^2+n^4$

здесь правильно будет для $x$ так:
$\sqrt{n^8-2m^2n^4+m^4}$ .
и при условии $m>n\,$; и исключая один единственный случай, когда $m=2; \, n=1$.

[tolstopuz]

Soul Friend в сообщении #1381972 писал(а):

Вуаля, получилось троичное дерево.

Имеющее корень и содержащее каждую примитивную тройку ровно один раз?

[Soul Friend]

вот ещё один способ:
A new parameterisation of Pythagorean triples in terms of odd and even series

[Rak so dna]

Вроде как получил ещё один способ генерации

tolstopuz в сообщении #1381781 писал(а):

Дерево примитивных пифагоровых троек

правда я ничего не доказал , но всё-таки...


Из примитивной пифагоровой тройки $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ три ветви получаются по правилам:

$\left(\frac{f(x_0,y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{g(x_0,y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{h(x_0,y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)}\right)$
$\left(\frac{f(y_0,x_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{g(y_0,x_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{h(y_0,x_0,z_0)}{GCD(f,g,h)}\right)$
$\left(\frac{f(x_0,-y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{g(x_0,-y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)},\frac{h(x_0,-y_0,z_0)}{GCD(f,g,h)}\right)$

где

$f(x,y,z)=(x+z)^2+y(2x+z)$

$g(x,y,z)=x(2x+y+z)$

$h(x,y,z)=(x+z)^2+y(2x+z)+x^2$

$GCD(f,g,h)$ — наибольший общий делитель текущих $f,g,h$