Мат. стат. Найти коэф. c и k, f(x)=c+kx для x in (3;8]

[mekuto]

Здравствуйте.

Задача из теории вероятностей, непрерывная случайная величина.
Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

$$f(x)=\begin{cases} 0,& x \in (-\infty; 3];\\ c+kx,& x \in (3; 8];\\ 0,& x \in (8; +\infty). \end{cases}$$

Найти $c$ и $k$, если $c > 0$ и $k < 0$.

Следовательно, функция распределения непрерывной случайной величины:
$F(x)=\frac{kx^2}{2} + cx + d$;
И имеют место следующие граничные условия:
\begin{equation*}\begin{cases} F(3) = 0;\\ F(8) = 1.\\ \end{cases} \end{equation*}

Для нахождения коэффициентов параболы необходимо 3 точки, где скрылась 3 точка для $F\left(x\right)$ ? Как эту задачу решить?
Спасибо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[EUgeneUS]

mekuto
Приведенные условия не позволяют выразить $c$ и $k$ в виде чисел.
Можно указать допустимые значения для них и соотношение между ними.

Ещё можно предположить ошибку в условии.
1. Так как

mekuto в сообщении #1467595 писал(а):

$c > 0$ и $k < 0$.

то разрыв $f(x)$ в точке $x=3$ обязательно существует.
2. Но разрыв в точке $x = 8$ может быть, а может не быть.
3. Корректировка условий в третьей строчке системы : $f(x)=0, x \in [8; +\infty]$ устраняет разрыв $f(x)$ в точке $x=8$ и позволяет выразить $c$ и $k$ в виде чисел.

[mekuto]

Здравствуйте.
Из-за условия ограниченности функции распределения непрерывной случайной величины между 0 и 1, т.е. $F(x)=0$ при $x \in \left(-\infty;3\right]$, и $F(x)=1$ при $x \in \left(8;+\infty\right)$, следует, что экстремум параболы приходит на точку, в которой $F(x) = 1$, т.е. $x = 8$.
Следовательно, три характерные точки для параболы $F(x)=\frac{kx^2}{2}+cx+b$ будут:
$\left\{ \begin{array}{rcl} F(3) &=& 0;\\ F(8) &=& 1;\\ F_{\text{ext}} &=& 1. \end{array} \right.$
Три точки характеризующую параболу получены.
Спасибо.

[EUgeneUS]

mekuto в сообщении #1468144 писал(а):

Из-за условия ограниченности функции распределения непрерывной случайной величины между 0 и 1, т.е. $F(x)=0$ при $x \in \left(-\infty;3\right]$, и $F(x)=1$ при $x \in \left(8;+\infty\right)$, следует, что экстремум параболы приходит на точку, в которой $F(x) = 1$, т.е. $x = 8$.

Это неверное рассуждение.

[Otta]

mekuto

mekuto в сообщении #1467595 писал(а):

Для нахождения коэффициентов параболы необходимо 3 точки, где скрылась 3 точка для $F\left(x\right)$ ?

Нету ее. Не дали в условии. Или условие неверное (посмотрите еще раз), или Вам с этим жить.

mekuto в сообщении #1468144 писал(а):

что экстремум параболы приходит на точку,

Зачем Вам экстремум? Третью точку хотите? так точка экстремума (не параболы, функции) совпадает с одной из тех двух. И что Вы будете делать с этим дальше?

mekuto в сообщении #1467595 писал(а):

Как эту задачу решить?

Свойства плотности люди в таких случаях вспоминают. Интеграл от плотности по прямой чему равен?

[mekuto]

Здравствуйте.
Фу́нкция распределе́ния, обозначим как $F(x)$, не убывает, при этом ее значения изменяются от 0 до 1, включительно. Интеграл от $F(x), x \in \left(-\infty;+\infty\right)$ равен 1, т.к. вероятность не может быть больше 1. Плотность распределения является производной от функции распределения, т.е. $f(x) = \frac{F(x)}{dx}$. Нам дана плотность распределения и она разделена на участки, т.к. случайная величина появляется только в каком-то диапазоне, в нашем случае это $\left(3;8\right]$, следовательно, т.к. на других участках вероятность появления случайно величины равно 0, что функция распределения существует только на участке $\left(3;8\right]$. Восстанавливаем по плотности распределения $f(x)$ функцию $F(x)$: $F(x) = \int f(x)dx$, получаем $F(x) = \frac{kx^2}{2}+cx+b$, $b$ - свободный член интегрирования. Больше обращаться к $f(x)$ не имеет смысла.

Дальше, рассмотрим свойства функции распределения, видим что значение $F(x) = 0$ для $x \in \left(-\infty;3\right]$, и $F(x) = 1$ для $x \in \left(8;+\infty\right)$. Т.к., максимально возможное значение $F(x)=1$ на $x \in \left(-\infty;+\infty\right)$, то, это и означает максимум функции $F(x)$ в точке $x = 8$, т.к. $F(x=8)=1$. Рассмотрим квадратичное уравнение, график которой парабола, коэффициенты $c > 0$, $k < 0$, сообщают нам, что ветви параболы направлены вниз, и она имеет один участок на котором монотонно возрастает (по определению функции распределения). Монотонно возрастает до максимального значения 1 (по определению функции распределения), которое определено в точке $x=8$, нашли условие для вершины параболы с ветвями вниз. Далее, $F(x=3)=0$, устраняем разрыв функции для $x \in \left(-\infty;3\right]$, и для $F\left(x \in \left[8;+\infty\right)\right)=1$. Следовательно, мы нашли еще две точки при устранении разрыва (гладкость) исходя из монотонного возрастания функции распределения и ее ограниченности в пределах $\left[0;1\right]$, т.е. $F(3)=0$ и $F(8)=1$.

P.S. Квадратичное уравнение $F(x) = \frac{kx^2}{2}+cx+b$, графиком которого является парабола, монотонно возрастает от $0$ до $\max = 1$ на $\left[3; 8\right]$.

P.P.S. Можно найти значение коэффициентов квадратичного уравнения, искусственно определив существование квадратичной функции на пределе $x \in \left[8; 13\right]$ и найдем, что $F(x=13)=0$. Этого достаточно.

Спасибо за внимание.

[EUgeneUS]

mekuto в сообщении #1468177 писал(а):

Т.к., максимально возможное значение $F(x)=1$ на $x \in \left(-\infty;+\infty\right)$, то, это и означает максимум функции $F(x)$ в точке $x = 8$,

Не означает.
Спасибо за внимание.

[Someone]

Рекомендую уйти от неопределённого интеграла в сторону определённого. Стоит вспомнить свойства плотности вероятности. Собственно, нужны два свойства: неотрицательность ($f(x)\geqslant 0$) и величина определённого (точнее, несобственного) интеграла ($\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$). С учётом того, что $f(x)\neq 0$ только на известном отрезке, получается обычный определённый интеграл. Чему он должен быть равен?

mekuto в сообщении #1468177 писал(а):

Восстанавливаем по плотности распределения $f(x)$ функцию $F(x)$: $F(x) = \int f(x)dx$

Не так. Там пределы интегрирования необходимо указать. В общем случае $F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)dt$, но, разумеется, нужно интегрировать только там, где заведомо $f(x)>0$ (впрочем, если расписать интеграл от кусочно заданной функции, всё получится автоматически; но это надо уметь делать).

mekuto в сообщении #1468177 писал(а):

это и означает максимум функции $F(x)$ в точке $x = 8$

Если Вы имеете в виду вершину параболы $y=\frac{kx^2}2+cx+b$, то ей совсем не обязательно совпадать с точкой $x=8$, поскольку в условии задачи это не требуется. Но нужно учесть условие $f(x)\geqslant 0$. Если это задача не из стандартного задачника, а придумана преподавателем, то насчёт расположения вершины можно уточнить у него.