Вывести формулу для суммы

[artey]

Здравствуйте, есть такая задачка: вывести формулу для следующей суммы $1^3+2^3+...+n^3$. Есть у кого-нибудь идеи как это сделать?

Почитал, что верно равенство $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$. Попробовал доказать это по индукции:
1)при $n=1$ равенство верно;
2)при $n=k$ имеем, что $1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2$ верно;
трудности возникают с 3 пунктом:
3) при $n=k+1$ получим $1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k+1)^2$. Далее я сделал следующее:
$(1+2+...+k)^2+(k+1)(k+1)^2=(1+2+...+k+1)^2$. А что делать дальше не получается придумать.

[nnosipov]

Можно угадать: $(1+2+\dots+n)^2$. Угадал?

[Dan B-Yallay]

Большинство подобных вещей выводится по индукции.
Пробовали?

[Gagarin1968]

Вычислите несколько сумм $1^3+2^3, 1^3+2^3+3^3,...$ и т.д. Ну, хотя бы до $n=6$.
И попробуйте найти закономерность. После чего подкрепите догадку доказательством.

[gris]

gris в сообщении #251101 писал(а):

Тут есть детсадовское доказательство с кубиками.
Установим единичный кубик в угол. К нему вдоль одной стенки приложим два кубика. К этим двум перпендикулярно ещё два и на этих четыре ещё четыре. То есть у нас получится куб $2\times 2 \times 2$. К нему таким же образом пристыкуем куб $3\times 3 \times 3$ и так далее, пока хватит кубиков.
Пусть у нас хватило, чтобы построить целиком куб $n\times n\times n$.
Всего мы истратили кубиков столько, сколько получится при суммировании кубов от одного до $n$.
Обратим внимание, что у нас вдоль одной стеночки выстроилась как раз сумма от одного до $n$ кубиков.
Теперь проведём черту или положим дощечки перпендикулярно стеночкам. У нас отгородится квадрат с длиной стороны равной сумме от одного до $n$.
Теперь начнём укладывать все кубики в один слой.
Опа! Они как раз заполнили весь квадрат без пропусков!

[nnosipov]

Что-то в этом духе я встречал у А. Шеня. Детали уже не помню, но помню, что понравилось, довольно изящно.

[vpb]

См. Мордкович, Семенов, Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 кл, гл.1, пар.6. "Метод математической индукции" (Издание 2009 г, например, если что).

[Dan B-Yallay]

Вообще без слов

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Connector]

artey, смотрите. $(1+2+...+k+1)^2=(1+2+...+k)^2+(k+1)^2+2(1+2+...+k)(k+1)$. Если воспользоваться формулой суммы первых $k$ чисел натурального ряда, то дальнейшее очевидно.

[B@R5uk]

$$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$$

Если просуммировать эту формулу по k от 0 до n, то слева будет телескопическая сумма, дающая после сокращения $n^4$, а справа — суммы кубов, квадратов, первых степеней и констант с соответствующими коэффициентами перед ними. Если вы знаете сумму для квадратов и первых степеней, то сумма для кубов выражается сразу. Если не знаете, то берёте формулу выше со степенью не 4, а 3 — и находите формулу для суммы квадратов. Таким образом, даже не зная формулы и не пользуясь ММИ можно найти в общем виде сумму ряда натуральных чисел в любой степени.

[novichok2018]

И этот метод работает для нахождения суммы любых степеней. Зная бином, можно вывести общую формулу через все предыдущие степени. На самом деле кажется такие суммы выражаются не через все предыдущие, а только через пару первых, есть такая теорема, но уже не помню.

[TOTAL]

Можно выразить через возрастающие степени, которые легко суммируются

$$i^3=i(i+1)(i+2)-3i(i+1)+i$$

$$\sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} -3\cdot \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$$

[artempalkin]

TOTAL в сообщении #1467560 писал(а):

На самом деле кажется такие суммы выражаются не через все предыдущие, а только через пару первых, есть такая теорема, но уже не помню.

Ну так если по сути мы имеем дело с рекурсивной последовательностью выражений, они все в каком-то смысле выражаются через два первых, тут даже доказывать нечего :) Я думаю, можно было бы вывести это выражение, если бы не было лень