2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дополнение к открытому множеству.
Сообщение03.06.2020, 15:14 


18/12/17
227
Здравствуйте. Есть такое задание: "Докажите, что дополнение к открытому множеству $M$ является замкнутым
множеством. "
Мое рассуждение: поскольку множество $M$ открыто, то оно не содержит свою границу. Т.к. в любой эпсилон-окрестности граничной точки множества $M$ есть точки как из него, так и не из него(для дополнения наоборот), то граница дополнения будет содержать в себе границу множества $M$, т.е. каждая граничная точка $M$ есть граничная точка дополнения. При этом множество $M$ свою границу в себе не содержит, значит, она содержится в дополнении. Но
этого недостаточно, чтобы доказать, что дополнение само по себе является замкнутым множеством, ведь у него могут быть и другие граничные точки, которые при этом не содержаться в дополнении.
Предположим, что $M_1$ является такой точкой. Она не принадлежит дополнению. Но тогда по определению она принадлежит множеству $M$. Т.е. она является точкой множества $M$, в любой окрестности которой есть точки как из дополнения, так и не из него, т.е в самом множестве $M$. Значит, эта точка является граничной точкой мн-ва $M$ и содержится в границе дополнения. Но это противоречит определению точки $M_1$.

Таким образом, я доказал, что дополнение к $M$ содержит в себе границу, поэтому является замкнутым.

Корректно ли это доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнение к открытому множеству.
Сообщение03.06.2020, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9549
Цюрих
Корректно, если все необходимые понятия уже есть. Правда обычно замкнутые множества определяются, как дополнения к открытым, а про границы говорят уже позднее... Как у вас определеются открытые и замкнутые множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнение к открытому множеству.
Сообщение03.06.2020, 17:22 


18/12/17
227
mihaild
В нашем курсе (физфак МГУ) определения вводятся так: открытым называют множество, все точки которого являются внутренними(или, эквивалентно, множество, не содержащее граничных точек).
Закрытое множество - множество, содержащее все свои граничные точки. Граница - множество всех граничных точек данного множества.
Все понятия уже были введены, я лишь хотел уточнить верность рассуждений. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнение к открытому множеству.
Сообщение03.06.2020, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989

(Оффтоп)

Два раза открытое множество будем называть переоткрытым...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group