2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий сходимости ряда случайных величин
Сообщение03.06.2020, 11:50 


20/12/17
151
$X_j, j\in \mathbb{N}$ - независимые случайные величины $X_j \sim Bi(2, p_j), p_j \in (0, 1), j \in \mathbb{N}$. Найти критерий сходимости ряда $\sum_{j = 1}^\infty X_j$.
Я достаточность доказал по теореме о двух рядах. Критерий будет такой: $\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j < +\infty $ достаточно для сходимости $\sum_{j = 1}^\infty X_j$, потому что он будет мажорирующим для такого же ряда из квадратов, получается матожидания и дисперсии сходятся и ряд из иксов сходится.
А вот как доказать необходимость, не понимаю.
Пытался через х.ф - но у нас сумма биномиальных с.в. уже не будет биномиальной величиной суммы. Использовать теорему о трёх рядах?

-- 03.06.2020, 13:24 --

UPD:В принципе, всё легко решается и по необходимому условию теоремы о двух рядах, у нас ведь все величины равномерно ограничены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сходимости ряда случайных величин
Сообщение03.06.2020, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9534
Цюрих
Можно еще напрямую через лемму Бореля-Кантелли (собственно упомянутые теоремы - это просто её развитие): если ряд из вероятностей расходится, то с вероятностью $1$ бесконечное число величин принимают значение $1$ или $2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: angor6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group