2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий сходимости ряда случайных величин
Сообщение03.06.2020, 11:50 


20/12/17
151
$X_j, j\in \mathbb{N}$ - независимые случайные величины $X_j \sim Bi(2, p_j), p_j \in (0, 1), j \in \mathbb{N}$. Найти критерий сходимости ряда $\sum_{j = 1}^\infty X_j$.
Я достаточность доказал по теореме о двух рядах. Критерий будет такой: $\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j < +\infty $ достаточно для сходимости $\sum_{j = 1}^\infty X_j$, потому что он будет мажорирующим для такого же ряда из квадратов, получается матожидания и дисперсии сходятся и ряд из иксов сходится.
А вот как доказать необходимость, не понимаю.
Пытался через х.ф - но у нас сумма биномиальных с.в. уже не будет биномиальной величиной суммы. Использовать теорему о трёх рядах?

-- 03.06.2020, 13:24 --

UPD:В принципе, всё легко решается и по необходимому условию теоремы о двух рядах, у нас ведь все величины равномерно ограничены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сходимости ряда случайных величин
Сообщение03.06.2020, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Можно еще напрямую через лемму Бореля-Кантелли (собственно упомянутые теоремы - это просто её развитие): если ряд из вероятностей расходится, то с вероятностью $1$ бесконечное число величин принимают значение $1$ или $2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group