Показать, что каждый член последовательности - целое число

[dmitriy11]

Добрый день!

Подскажите как делать такую задачу
Есть последовательность, общий член которой задается формулой
$a_{n} = \frac{(1 + \sqrt{n^4 - n^2 + 1})^n + (1 - \sqrt{n^4 - n^2 + 1})^n}{2^n}$

Как показать, что каждый член последовательности будет целым числом?
я проверил до $n=10$: все члены - целые числа. Как в общем случае показать?

Мои попытки решения:
- я пробовал возвести в степени $n$ каждую из скобок (бином Ньютона) в числителе (при этом сокращаются дробные показатели, и корень исчезает в числителе), но из результата не увидел, что это целое число. Получается такое выражение (для $n$ - четных, для нечетных - последнее слагаемое в числителе будет в степени ${(n-1)/2}$):
$a_{n} = \frac{2 + n(n-1)(n^4 - n^2 + 1) + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{3\cdot4}(n^4 - n^2 + 1)^2 + \dots + (n^4 - n^2 + 1)^{n/2}}{2^n}$
Но вот как степени числа $n$ связать со степенями $2^n$?
- знаменатель вносил в скобки в числитель

Если посчитать для $n = 2$, получается:
$a_{2} = \frac{(1 + \sqrt{2^4 - 2^2 + 1})^2 + (1 - \sqrt{2^4 - 2^2 + 1})^2}{2^2} = \frac{2 + 2(2^4 - 2^2 + 1)}{2^2} = \frac{2^5 - 2^3 + 2 + 2}{2^2}$
то еще как-то можно свести к степеням двойки
а вот для $n = 3$
$a_{3} = \frac{2 + 2\cdot3\cdot(3^4 - 3^2 + 1)}{2^3} = \frac{2 + 2\cdot3^5 - 2\cdot3^3 + 2\cdot3}{2^3} = \frac{2 \cdot(1 + 3^5 - 3^3 + 3)}{2^3}$
И вот даже при $n = 3$ не понимаю, куда можно дальше двигаться, чтобы не высчитывая явно, понять, что получим целое число

[TOTAL]

dmitriy11 в сообщении #1466289 писал(а):

Как показать, что каждый член последовательности будет целым числом?

Попробовать сначала от корней избавиться. Пробовали?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

dmitriy11
Дело в том, что эта задача дурно сформулирована, оттого и плохо поддается решению. На самом деле здесь описывается довольно простое явление, но оно буквально забаррикадировано. Совет такой: замените подкоренное выражение одной буквой (скажем $A=n^4-n^2+1$) и считайте, что $A$ никак не связано с $n$. Конечно, чтобы утверждение о целости $a_n$ осталось верным, от $A$ придется кое-что потребовать, но это сущий пустяк, который разъяснится в процессе доказательства.

[adfg]

если $a+b$ - целое, и $ab$ - целое, то $a^n+b^n$ - тоже целое

[TOTAL]

dmitriy11 в сообщении #1466289 писал(а):

- я пробовал возвести в степени $n$ каждую из скобок (бином Ньютона) в числителе (при этом сокращаются дробные показатели, и корень исчезает в числителе), но из результата не увидел, что это целое число.

Вот как надо от корня избавляться

$$a_{n} = \frac{x_1^n +x_2^n}{2^n}= \frac{x_1^{n-1} +x_2^{n-1}}{2^{n-1}}\cdot \frac{x_1 +x_2}{2} - \frac{x_1^{n-2} +x_2^{n-2}}{2^{n-2}}\cdot \frac{x_1 x_2}{4}$$

[dmitriy11]

В перерывах между работой уже три листа исписал преобразованиями этого выражения.
По вашим намёкам не понимаю. Перебрал все приходящие на ум преобразования.
Понимаю, что это что-то легкое, и знающий человек объяснит за 5 минут, но у меня тупняк какой-то.

Всё время упираюсь в разложение по биному, раскладываю, но это мне не добавляет ясности.

Допустим положим:
$A = n^4 - n^2 + 1$

представим в виде:
$a_n = \frac{(1 + \sqrt{A})^n + (1 - \sqrt{A})^n}{2^n}$

Знаменатель можно представить в виде: $2^n = 1 + \sqrt{A} + 1 - \sqrt{A}$

Получим:
$\frac{(1 + \sqrt{A})^n + (1 - \sqrt{A})^n}{(1 + \sqrt{A} + 1 - \sqrt{A})^n}$

Когда шел другим путем, то полагал $1 + \sqrt{A} = a$ и $1 - \sqrt{A} = b$
а $2^n = 1 + \sqrt{A} + 1 - \sqrt{A} = a + b$
$a$ и $b$ выражаются друг через друга: $b = 2 - a$
Можно получить выражение:
$\frac{a^n + (2-a)^n}{2^n}$
Отдельно высчитаем:
$a + b = 2$
$a - b = 2\sqrt{A}$
$a^2 - b^2 = 4\sqrt{A}$

Если домножить числитель и знаменатель на $(a-b)^n$
Вроде что-то интересное получилось, но опять не то:
$\frac{(a^n + b^n)(a - b)^n}{2^n (a-b)^n} = \frac{(a^n + b^n)2^n A^{n/2}}{2^n (a-b)^n} = \frac{(a^n + b^n) A^{n/2}}{(a-b)^n}$

Вот вообще ничего из того, что перебрал не приближает к доказательству :(

[nnosipov]

dmitriy11 в сообщении #1466943 писал(а):

представим в виде:
$a_n = \frac{(1 + \sqrt{A})^n + (1 - \sqrt{A})^n}{2^n}$

Теперь поделим почленно и далее представим как сумму двух $n$-х степеней.

Да, ступор иногда бывает.

Upd. Что-то долго реакции нет. Имелось в виду записать $a_n=\left(\frac{1+\sqrt{A}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{A}}{2}\right)^n$.

[dmitriy11]

nnosipov в сообщении #1466946 писал(а):

Теперь поделим почленно и далее представим как сумму двух $n$-х степеней.

$a_n = (\frac{1 + \sqrt{A}}{2})^n + (\frac{1 - \sqrt{A}}{2})^n$
Это выражение что-то напоминает мне.
Из этого есть мысль выразить так:
$(\frac{1 + \sqrt{A}}{2})^n + (1 - \frac{1 + \sqrt{A}}{2})^n$
но мне это по-прежнему ни о чем не говорит

[nnosipov]

dmitriy11 в сообщении #1466958 писал(а):

Из этого есть мысль выразить так:
$(\frac{1 + \sqrt{A}}{2})^n + (1 - \frac{1 + \sqrt{A}}{2})^n$
но мне это по-прежнему ни о чем не говорит

Не надо. Посмотрите теперь на сообщение adfg (в этой теме одно одно).

[dmitriy11]

nnosipov в сообщении #1466960 писал(а):

Посмотрите теперь на сообщение adfg (в этой теме одно одно).

Эврика! Если предположить, что это верное утверждение, то тогда - да, задача решена!
Но из чего это утверждение следует? Не слышал о нем раньше

[nnosipov]

dmitriy11
Оно доказывается индукцией по $n$ (попробуйте доказать). А вообще, это частный случай основной теоремы о симметрических многочленах (она о том, что каждый симметрический многочлен можно выразить через элементарные симметрические многочлены). Прочитать про эту теорему можно, например, в книжке Винберга "Алгебра многочленов".

[dmitriy11]

nnosipov
Понял)
Спасибо большое за помощь

[nnosipov]

Пожалуйста.