Плотность разности непрерывных независимых величин

[pandemodeus]

Здравствуйте!
Помогите разобраться в следующей задаче:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами a и b соответственно. Нужно найти вероятность $P(\xi\le \eta)$.

$$p_{\xi}(t)=\begin{cases} ae^{-at},&\text{если $t\ge 0$;}\\ 0,&\text{если $t<0$;}\\ \end{cases}$$

Решаю через функцию распределения и формулу свертки.
$P(\xi\le \eta)=P(\xi-\eta\le 0)$. Найдем плотность распределения случайной величины $\xi-\eta$ через функцию распределения: $F_{\xi-\eta}(z)=P(\xi-\eta\le z)=P((\xi,\eta)\in A)$, где $A$-область под графиком функции $y-x=z$. Значит, $P((\xi,\eta)\in A) = \iint\limits_{A}p_{\xi}(y)p_{\eta}(x)dxdy$. Сделав замену $t=y-x, x=s$, имеем $\int\limits_{-\infty}^{z}\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds$. Т.е $p_{\xi-\eta}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds$. Подынтегральная функция ненулевая только при $s\ge 0$ и $t+s\ge 0$, значит $s\ge -t$. Следовательно, $\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds=\int\limits_{-t}^{\infty}be^{-bs}ae^{-a(t+s)}ds$. В результате у меня получается функция от $t$, интеграл от которой по всей числовой прямой расходится, хотя итоговый ответ правильный. Где я ошибаюсь?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466410 писал(а):

Подынтегральная функция ненулевая только при $s\ge 0$ и $t+s\ge 0$, значит $s\ge -t$

pandemodeus в сообщении #1466410 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds=\int\limits_{-t}^{\infty}be^{-bs}ae^{-a(t+s)}ds$.

А куда у вас делось ограничение $s \geqslant 0$?

(Оффтоп)

Ну и ИМХО тут не надо с заменами заморачиваться, проще сразу записать интеграл $P(\xi \leqslant \eta) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty p_\xi(x) p_\eta(y) \mathbb{I}_{x \leqslant y}\, dx\, dy = \int\limits_{-\infty}^\infty\, dx\int\limits_x^\infty\, dy\, p_\xi(x)p_\eta(y)$.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1466413 писал(а):

А куда у вас делось ограничение $s \geqslant 0$?

А как в таком случае поступать? Когда непонятно,как $s$ соотносится с $t$. Насколько я понимаю, нам нужно "подкрутить" пределы интегрирования таким образом, чтобы подынтегральная функция была ненулевая на этом промежутке. Эти пределы будут зависеть от $t$, поэтому я и записал второе условие.
Да, я знаю, что есть решения проще. Я просто хочу для себя решить таким способом, чтобы все уяснить.

[Otta]

А Вы решите сперва Вашу задачу. Найти вероятность проще, чем функцию распределения.
А потом будем функцию распределения искать, если захочется.

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466414 писал(а):

Насколько я понимаю, нам нужно "подкрутить" пределы интегрирования таким образом, чтобы подынтегральная функция была ненулевая на этом промежутке

По сути так, но идейно важно не то, что функция ненулевая, а то, что она задана кусочно - на разных кусках разными формулами. Но т.к. только на одном куске она будет ненулевая, то да, достаточно найти этот кусок.
Вам в итоге нужно проинтегрировать по $s$ по той части прямой, где $s \geqslant -t$ и одновременно $s \geqslant 0$ - т.е. по пересечению двух лучей, идущих вправо. Как выглядит их пересечение?

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1466419 писал(а):

Вам в итоге нужно проинтегрировать по $s$ по той части прямой, где $s \geqslant -t$ и одновременно $s \geqslant 0$ - т.е. по пересечению двух лучей, идущих вправо. Как выглядит их пересечение?

Это зависит от того, больше ли $t$ нуля или нет. Нужно рассмотреть и просчитать оба случая?

-- 01.06.2020, 22:02 --

mihaild в сообщении #1466413 писал(а):

Ну и ИМХО тут не надо с заменами заморачиваться, проще сразу записать интеграл $P(\xi \leqslant \eta) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty p_\xi(x) p_\eta(y) \mathbb{I}_{x \leqslant y}\, dx\, dy = \int\limits_{-\infty}^\infty\, dx\int\limits_x^\infty\, dy\, p_\xi(x)p_\eta(y)$

А можно немного поподробнее, откуда взялось такое соотношение? Для пока не очевидно

-- 01.06.2020, 22:28 --

Otta в сообщении #1466417 писал(а):

А Вы решите сперва Вашу задачу. Найти вероятность проще, чем функцию распределения.
А потом будем функцию распределения искать, если захочется.

Задачу решил.
Итак: $P(\xi-\eta\le 0)=P((\xi,\eta)\in A)$, где A - область выше прямой $x-y=0$. Известно, что $P((\xi,\eta)\in A)=\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy$. $x$ пробегает все вещественные значения, а $y$ "бегает" от $x$ до $+\infty$. Запишем, $\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{x}^{+\infty}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(x)dx\int\limits_{x}^{\infty}p_{\eta}(y)dy, x\ge 0$. Последовательно решая 2 интеграла, получим, что искомая вероятность равна $\frac{a}{a+b}$. Теперь, хочется все-таки найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi-\eta$

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):

Нужно рассмотреть и просчитать оба случая?

Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.

pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):

А можно немного поподробнее, откуда взялось такое соотношение?

Которое? Первое - это просто определение вероятности и плотности: вероятность события равна интегралу от его индикатора по вероятностной мере, а интеграл от случайной величины по вероятностной мере равен интегралу этой величины, умноженной на плотность распределения, по обычной мере Лебега. Второе - из определения индикатора: разбиваем внутренний интеграл на два, и под вторым индикатор тождественно равен нулю.

pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):

Теперь, хочется все-таки найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi-\eta$

Ну а теперь замените $0$ в выражении $P(\xi - \eta \leqslant 0)$ на произвольное число $a$, и найдите вероятность как функцию от $a$ - это как раз будет функция распределения. А потом продифференцируйте, и получите плотность.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1466439 писал(а):

Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.

Рассмотрел оба случая, в итоге получились разные результаты. Искомая вероятность - это их сумма? Или как в таком случае объединять результаты?

mihaild в сообщении #1466439 писал(а):

Которое? Первое - это просто определение вероятности и плотности: вероятность события равна интегралу от его индикатора по вероятностной мере, а интеграл от случайной величины по вероятностной мере равен интегралу этой величины, умноженной на плотность распределения, по обычной мере Лебега. Второе - из определения индикатора: разбиваем внутренний интеграл на два, и под вторым индикатор тождественно равен нулю.

Уже разобрался, спасибо.

mihaild в сообщении #1466439 писал(а):

Ну а теперь замените $0$ в выражении $P(\xi - \eta \leqslant 0)$ на произвольное число $a$, и найдите вероятность как функцию от $a$ - это как раз будет функция распределения. А потом продифференцируйте, и получите плотность.

Так и делал, в ответе получается $\frac{ab}{a+b}e^{bt}$. Но интеграл по прямой от этого выражения расходится

[--mS--]

pandemodeus в сообщении #1466446 писал(а):

mihaild в сообщении #1466439 писал(а):

Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.

Рассмотрел оба случая, в итоге получились разные результаты. Искомая вероятность - это их сумма? Или как в таком случае объединять результаты?

Вы искали плотность как функцию от $t$. Получили при $t<0$ одно выражение, при $t\geqslant 0$ - другое. Объединять результаты надо фигурной скобочкой:

$$ p_{\xi-\eta}(t)=\begin{cases} \ldots, & t<0\cr \ldots, & t\geqslant 0.\end{cases} $$

Или можно с помощью индикаторов $p_{\xi-\eta}(t)=(\ldots)\cdot {I}{\{t<0\}}+(\ldots)\cdot {I}{\{t\geqslant 0\}}$.

[pandemodeus]

--mS-- в сообщении #1466464 писал(а):

Вы искали плотность как функцию от $t$. Получили при $t<0$ одно выражение, при $t\geqslant 0$ - другое. Объединять результаты надо фигурной скобочкой

Точно,
Спасибо!

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466446 писал(а):

Так и делал, в ответе получается $\frac{ab}{a+b}e^{bt}$

Это интеграл такой получается, или производная? В любом случае, покажите выкладки - где-то в них ошибка.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1466563 писал(а):

Это интеграл такой получается, или производная? В любом случае, покажите выкладки - где-то в них ошибка.

Интеграл.
Решал так: $P((\xi,\eta)\in A)$, где А - область над графиком $x-y=z$, равна $\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(x)dx\int\limits_{x-z}^{\infty}p_{\eta}(y)dy$. Отсюда возникают 2 условия на $x$:$x\ge 0$ и $x\ge z$. При $z\le 0$ имеем: $\int\limits_{0}^{\infty}ae^{-ax}dx\int\limits_{x-z}^{\infty}be^{-by}dy$. Решая данный интеграл в ответе получаем $\frac{a}{a+b}e^{bz}, z\le 0$. Аналогично при $z>0$ имеем $\int\limits_{z}^{\infty}ae^{-ax}dx\int\limits_{x-z}^{\infty}be^{-by}dy$. В результате получим $\frac{a}{a+b}e^{-az}, z>0$. Т.о образом мы нашли $F_{\xi-\eta}(z)$, но на функцию распределения это совсем не похоже.
Я уже решил эту задачу по формуле свертки, нашел и функцию распределения, и плотность, там все сходится, и даже ответ похож, но все же где-то в этом приведенном решении я ошибаюсь. Есть ощущение, что я не учитываю какой-то кусок в случае $z>0$

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466587 писал(а):

$x\ge z$

Непонятно, откуда это условие.
При $x < 0$ действительно подинтегральная функция внешнеого интеграла равна нулю, поэтому эту область можно выкинуть. Но при любом положительном $x$ внутренний интеграл положителен, поэтому что-то еще выкидывать нельзя. Просто в зависимости от знака $x - z$, нижним пределом внутреннего интеграла будет либо $x - z$, либо $0$.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1466597 писал(а):

Непонятно, откуда это условие.

Я рассуждал так: $p_{\eta}(y)$ ненулевая только в том случае, когда $y\ge 0$. Но $y=x-z$, значит $x-z\ge 0 \Rightarrow x\ge z $. Если построить область $x-y\le z$, то $y$ будет отлично от нуля только при $x\ge z$, значит и интегрировать нужно по $x$, начиная с $z$, ибо все остальное это 0.

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1466611 писал(а):

Но $y=x-z$,

Нет, это нижняя граница области интегрирования, а не точное значение. Чему скажем равен $\int\limits_{-1}^\infty p_\eta(y)\, dy$?