Интерференция в тонких пленках

[Freeman-des]

Здравствуйте! Есть такая задачка.

Белый свет, падающий нормально на мыльную пленку (n=1,33) и отраженный от нее, дает в видимом спектре интерференционный максимум на волне 630 нм и ближайший к нему минимум на волне 450 нм. Какова толщина пленки, если считать ее постоянной?

Я не совсем понимаю, в чем смысл слов "ближайший к нему минимум". Учитывая, что пучок света падает нормально, как вообще минимум одной длины волны может по пространственному расположению не совпадать с максимумом другой волны?

Но если абстрагироваться от этого, решение мне представляется следующим:
$\triangle=2dn-\frac{\lambda}{2}$ - оптическая разность хода, $d$ - толщина пленки, $n$ - показатель преломления. Учтена потеря половины длины волны при отражении от более плотной оптически среды.
$\triangle=(2m+1)\frac{\lambda}{2}$ - условие минимума, m - любое целое число.

Тогда толщина:
$d=\frac{(m+1)\lambda}{2n}$

Пусть $m=0$ (хотя почему?). Тогда получим, что $d=169$ нм. Если $m=1$, то $d=338$ нм Ответ в задачнике - $300$ нм.

Тем более, если написать подобное условие для максимума, то полученная толщина пленки при данных значениях $m$ не будет совпадать толщиной, полученной для минимума, но с ответом все равно сходиться не будет.

[profilescit]

Задачу можно сформулировать немного иным способом. Какая должна быть минимальная толщина пленки чтобы в отраженном свете был минимум для одной длины волны и максимум для другой?

[arseniiv]

Freeman-des в сообщении #1465959 писал(а):

Я не совсем понимаю, в чем смысл слов "ближайший к нему минимум". Учитывая, что пучок света падает нормально, как вообще минимум одной длины волны может по пространственному расположению не совпадать с максимумом другой волны?

Я бы предположил, что ближайший не пространственно, а среди разных длин волн. Там же будет много и других минимумов для других $\lambda$, и если не зафиксировать как-то какой-то из них (а весьма разумно для задачи и даже для какой-то практики — ближайший к максимуму), то единственного решения не будет.

[Freeman-des]

Да, можно. Но все равно получаемые толщины для максимума и для минимума не совпадают между собой и не совпадают с ответом.

[profilescit]

Freeman-des в сообщении #1465971 писал(а):

Да, можно. Но все равно получаемые толщины для максимума и для минимума не совпадают между собой и не совпадают с ответом.

Меня ровно так-же смущала эта задача когда решал задачи на интерференцию

Напишите подробно условие максимума для одной волны и минимума для другой.

[Freeman-des]

Минимум я сверху уже расписал.

Минимум:
$d=\frac{(m+1)\lambda_{min}}{2n}$

Максимум по аналогии:
$d=\frac{(m+\frac{1}{2})\lambda_{max}}{2n}$

$m=0$
$d=169$ нм - первая формула дает. $d=118$ нм - вторая формула дает.
$m=1$
$d=338$ нм - первая формула дает. $d=355$ нм - вторая формула дает.
Ответ, повторюсь, 300 нм. Мало того между собой не совпадают, так и с ответом не совпадают.

[profilescit]

Freeman-des в сообщении #1465978 писал(а):

Минимум я сверху уже расписал.

Минимум:
$d=\frac{(m+1)\lambda_{min}}{2n}$

Максимум по аналогии:
$d=\frac{(m+\frac{1}{2})\lambda_{max}}{2n}$

Вот тут и кроется проблемка.
Во первых, у минимума просто $m$ а не $m+1$
Во вторых, нельзя утверждать что в оба случая у нас одинаковый порядок интерференции. Пусть у минимума останется $m$ а у максимума пусть будет $k$
Какое отношение можно получить между $m$ и $k$?

[Freeman-des]

Нет, формулы правильные. Может, вы не учитываете потерю половины волны при отражении. Посмотри вывод в первом посте.
Если считать ответ в задачнике верным, то какие m не подбирай, то в ответ не попасть. Если предположить, что ответ неверный записан в задачнике, то как найти отношение m и k, я не знаю. Можно было бы через толщину приравнять, но выразить отношение не получится.

[profilescit]

Ну, смотрите. $m$ целое положительное число, таким же и будет $m+1$ так что имеет смысл заменить $m+1$ на просто $m$.
Да, вы расписали правильно, просто по сути это не многое меняет.

Приравнивая толщину, как вы сами заметили, получится что $m \lambda_{min} = (k + \frac{1}{2}) \lambda_{max}$

Перейдя к числам, получим $m = 1.4k + 0.7$

Другое дело что я не нахожу решений в положительных числах...

[arseniiv]

Пронумеруем сначала максимумы и минимумы вместе по $\Delta = m\lambda / 2$. Видно, что $m$-й экстремум ближе к $(m + 1)$-му, чем к $(m - 1)$-му, и это его единственные соседи.

Значит, для нечётного $m$ ищем $m\cdot 630\,\text{нм} = 4dn = (m + 1) 450\,\text{нм}$, откуда $m = \frac{450\,\text{нм}}{180\,\text{нм}}m = 5/2$. Ну вот это конечно неутешительный результат, значит кто-то что-то не учёл. И при этом $d\approx 414\,\text{нм}$, вообще далеко.

UPD: что-то я разучился пользоваться калькулятором, два раза неправильный ответ записал.