Задание линейного отображения на лнз системе

[arseniiv]

Я так давно читал учебник линейной алгебры, что не могу вспомнить ни одного доказательства такой теоремы:

Пусть $v_1,\ldots, v_n\in V$ линейно независимы. Тогда для каких угодно $w_1,\ldots, w_n\in W$ существует линейное отображение $A\colon V\to W$ такое, что $Av_i = Aw_i$.

которое не привлекало бы построение базиса $V$ или базиса только $U := \langle v_1,\ldots, v_n\rangle$ и потом до кучи доказательства, что для всякого конечномерного подпространства $U\subset V$ существует линейное $V\to U$ (это даст нам воспользоваться каким-то произвольным отображением из $V/U$, чтобы достроить отображение из $U$ до отображения из $V$).

И вроде тут нигде не должна быть замешана аксиома выбора, или всё-таки замешана?

P. S. Это я решил проверить навык и доказать утверждение из «Линейная алгебра. Коммутирующие матрицы.» без привлечения матриц. И конечно доказал (и результат удовлетворил), но только вот по модулю требования штучки выше. (Вообще конечно понадобились лишь случаи $n\in\{1, 2\}$, но общность не повредит; было бы ведь крайне неожиданно, если бы утверждение выполнялось для каких-то $n$, но не для других.)

[Brukvalub]

arseniiv в сообщении #1465820 писал(а):

построение базиса .. только $U := \langle v_1,\ldots, v_n\rangle$

"Тому не нужно далеко ходить у кого черт за плечами"

[arseniiv]

Brukvalub
Ну да, оно же и базис, но в этом случае я натыкаюсь на другое вроде очевидное, но какое-то заблокированное сейчас от моей головы утверждение номер 2, «для всякого конечномерного подпространства $U\subset V$ существует линейное $V\to U$», чтобы доопределить отображение с $U$ как-нибудь.

[Brukvalub]

Разложите все пространство в прямую сумму указанного подпространства и его дополнения, дополнение киньте в ядро отображения, а на подпространстве достаточно указать образы уже имеющегося базиса.

[arseniiv]

Да, я так и хотел, но тогда надо доказать, что такое $U'$, что $U\oplus U' = V$, существует (в чём я не сомневаюсь, но не вижу как показать). Пойду Кострикина—Манина пока открою.

-- Пт май 29, 2020 19:50:50 --

$V$ — произвольной размерности.

[Brukvalub]

Можно пойти через Монблан: прикрутить к пространству скалярное произведение и в качестве прямого слагаемого взять ортогональное дополнение. Иначе придется дополнять лнс до базиса.

[arseniiv]

А, вот она аксиома выбора где спряталась — без неё же мы не можем сказать, что у любого $V$ есть базис, что несложно переделать в «есть базис, частью которого является данная конечная линейно независимая система». Эх. Спасибо, что навели на мысль!

Её обойти нельзя будет и с прикручиванием скалярного произведения, потому что в свою очередь надо будет показать, что оно существует хоть какое-то, с учётом требования невырожденности-то.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1465824 писал(а):

Да, я так и хотел, но тогда надо доказать, что такое $U'$, что $U\oplus U' = V$, существует (в чём я не сомневаюсь, но не вижу как показать).

Да, тут нужна аксиома выбора.

[Brukvalub]

arseniiv в сообщении #1465827 писал(а):

Её обойти нельзя будет и с прикручиванием скалярного произведения, потому что в свою очередь надо будет показать, что оно существует хоть какое-то, с учётом требования невырожденности-то.

Я пытался хитромудростями и замалчиваниями по ковер обойти достраивание лнс до базиса . Но не прокатило.

[arseniiv]

Xaositect
Спасибо за успокоение.

Brukvalub
Да, наоборот на мысль и навели, а так бы я ещё долго не соображал.