Введение алгебраической структуры на множестве

[AKasyan]

Вопрос заключается в следующем. На множестве вводится некая алгебраическая структура. Рассмотрим это чисто теоретически. Я на конкретных примерах некоторых объектов этого множества ввожу операции, например, сложения и умножения и показываю, что получаю в итоге или кольцо, или, например, поле. Детали не рассматриваем. Целесообразность также не рассматриваем. Вопрос: что представляет собой процесс введения алгебраической структуры? Что это? Для обычных чисел можно считать, что это произошло как постепенное открытие свойств. Если же на каком-то множестве вводится алгебраическая структура, то нельзя считать, что это «открытие». Мы эти свойства сами определяем. Можно считать, что это какая-то операция. Что это за операция? Это относится к теории категорий или к чему? К каким разделам математики? Где можно получить информацию по такого рода процессам? Помогите разобраться.

[arseniiv]

AKasyan в сообщении #1465636 писал(а):

Вопрос: что представляет собой процесс введения алгебраической структуры? Что это?

Да ничего, вот у нас множество $M$, вот у нас кучка операций $\Sigma$, и мы просто берём и собираем их в кортеж $(M, \Sigma)$ и используем этот кортеж, когда нам нужно поговорить об «$M$ с введёнными операциями». Во всяком уважающем себя курсе алгебры такие кортежи из носителя алгебраической системы и её операций должны маячить перед глазами с самого начала.

[Утундрий]

Коротко говоря, люди делают разные штуки, включая и эту. Информацию о такого рода процессах можно найти везде.

[Aritaborian]

AKasyan в сообщении #1465636 писал(а):

Вопрос: что представляет собой процесс введения алгебраической структуры? Что это?

С современной точки зрения это просто выдумывание чего-то из головы и проверка этого на соответствие каким-то условиям. Это раньше математики считали, что нужно что-то открывать. Сейчас они просто выдумывают и смотрят, насколько это полезно и интересно. Смена парадигмы.
UPD. Разумеется, после того, как мы что-то придумали и определили его свойства, мы уже имеем полное право делать какие-то именно открытия: выяснять нечто, что не было известно заранее.