Группа Галуа от f(x) = x^6 - 3x^3 + 2

[Dan B-Yallay]

Раскладываем на сомножители: $ f(x) = (x^3 - 1)(x^3 - 2)

Далее имеем корни: $(x^3 - 1) {\ }\sim {\ }1, {\ } \zeta_3, {\ } \zeta_3^2 и $ (x^3 - 2){\ } \sim{\ } \sqrt[3] 2, {\ } \zeta_3\sqrt[3] 2, {\ } \zeta_3^2\sqrt[3] 2

Какова степень расширения $ \mathbb Q {(\sqrt[3] 2, \zeta_3)} : \mathbb Q$ ?

С одной стороны $\mathbb Q(\zeta_3): \mathbb Q] = $ потому как расширяем решением полинома $(x^3 - 1)$

С другой стороны \zeta_3 это решение полинома $x^2 + x + 1$

Кто из этих полиномов "минимальнее"?

[lofar]

1) $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\colon\mathbb Q]=3$, поскольку $x^3-2$ неприводим и, следовательно, является минимальным для $\sqrt[3]{2}$.

2) $[\mathbb Q(\zeta_3)\colon\mathbb Q]=2$, поскольку $x^2+x+1$ неприводим и, следовательно, является минимальным для $\zeta_3$.

3) $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]=2$, поскольку степень этого расширения не может быть больше 2 (согласно пункту (2)) и не равна 1 (иначе $\zeta_3\in\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\subseteq\mathbb R)$.

4) из пунктов (1) и (3) следует, что $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q]=6$. Группа Галуа этого расширения равна $S_3$.

[Dan B-Yallay]

Благодарю за помощь.

Как быть, если требуется найти группу Галуа скажем $f(x) = x^3 + 7x + 8 над полем ну скажем $\mathbb F_2 или $\mathbb F_3

в голове Фробениус никак не укладывается - видимо не под тем углом смотрю.

[lofar]

Если $P$ --- конечное поле из $q$ элементов и $Q$ --- расширение $P$ степени $n$, то $Q/P$ --- расширение Галуа. Группа Галуа этого расширения циклическая, порожденная автоморфизмом фробениуса $\sigma\in{\rm Gal}(Q/P)$, $\sigma(x)=x^q$.


Пусть $K$ --- поле разложения $f(x)=x^3+7x+8$.

1) $\mathbb F_2$. $f(x)=x^3+x=x(x+1)^2$. Значит $K=\mathbb F_2$.

2) $\mathbb F_3$.$f(x)=x^3+x+2=(x+1)(x^2+2x+2)$. Полином $x^2+2x+2$ неприводим, следовательно $[K\colon\mathbb F_3]=2$.