Соседние дроби

[Fiend]

Всем доброго времени суток!
Задача #42 из книжки И.М. Гельфанда, А.Х. Шеня "Алгебра".

$\forall a, b, c, d\in \mathbb{N}$ дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ называются соседними, если $ad-bc=\pm1$
Если $\forall e, f\in \mathbb{N}: f < b+d, то дробь $\frac{e}{f} не находится между $\frac{a}{b} и $\frac{c}{d}.

Я видел на этом форуме указания к доказательству, но увидел их я позже того, как дал собственное. Оно отличается идеей и я не уверен, что оно верно. Прошу знающих проверить и указать на ошибки.

Второй пункт этого же задания:
Если дроби $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ соседние, то дробь $\frac{a+c}{b+d}$ является соседней к обеим дробям $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$, а также лежит между ними.
Док-во.
Без ограничения общности предположим, что $\forall e, f \in \mathbb{N}: f < b+d : \frac{a}{b}<\frac{e}{f}<\frac{c}{d}$. Из второго пункта, который считается доказанным, имеем:
$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$
где $\frac{a+c}{b+d}$ является соседней к граничным дробям. Ясно, что $\frac{e}{f}$ должна находиться либо между $\frac{a}{b}$ и $\frac{a+c}{b+d}$, либо между $\frac{a+c}{b+d}$ и $\frac{c}{d}$. Не умаляя общности, будем считать выполненной первую возможность. Тогда можно, точно также рассуждая, получить, что $\frac{e}{f}$ должна находиться либо между $\frac{a}{b}$ и $\frac{2a+c}{2b+d}$, либо между $\frac{a+2c}{b+2d}$ и $\frac{c}{d}$ (смотря, что выбрали в прошлый раз). Продолжая такие рассуждения до бесконечности, получим, что $\frac{e}{f}$ стремится к $\frac{a}{b}$, т.е. не может лежать между дробями $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ . Получили противоречие, а значит доказали.

[novichok2018]

Второй пункт: переоткрываете дроби Фарея, для этой средней дроби есть какое-то специальное название, типа медианта двух дробей, не помню.

[Null]

Что если $\frac{e}{f}$ находиться между $\frac{2a+c}{2b+d}$ и $\frac{a+c}{b+d}$?

[Fiend]

Null в сообщении #1465118 писал(а):

Что если $\frac{e}{f}$ находиться между $\frac{2a+c}{2b+d}$ и $\frac{a+c}{b+d}$?

Аналогично тому рассуждению, только на этот раз будет стремится к $\frac{a+c}{b+d}$, и знаменатель станет, грубо говоря, неотличим от $b+d$, т.е. не меньше.

-- 26.05.2020, 12:29 --

novichok2018 в сообщении #1465116 писал(а):

Второй пункт: переоткрываете дроби Фарея, для этой средней дроби есть какое-то специальное название, типа медианта двух дробей, не помню.

Да, спасибо за информацию о том, что потом почитать. Только мне сначала нужно выполнить это задание правильно, без дополнительных знаний. Изобретать велосипед при обучении крайне полезно.

-- 26.05.2020, 12:53 --

Решил более строго обосновать.
Продолжая тот процесс деления интервала, получим, что $\frac{a}{b}<\frac{e}{f}<\frac{na+c}{nb+d}$
По теореме о предельном переходе в неравенстве и получим, что $\frac{a}{b}=\frac{e}{f}$. А это и есть противоречие.

[slavav]

Fiend, вы, к сожалению, ничего не доказали. В частности, ваше доказательство работает для $f \ge b + d$.

[Fiend]

slavav в сообщении #1465196 писал(а):

В частности, ваше доказательство работает для $f \ge b + d$.

Вроде нет. Если равенство, то априори лежит между. Если же больше, то, условно говоря, можно выйти из ограничивающего интервала, меньшего $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ и предельный переход не поможет приравнять $\frac{e}{f}$ к одной из границ.

slavav в сообщении #1465196 писал(а):

Fiend, вы, к сожалению, ничего не доказали.

Вот за этим я и здесь. Никак не могу понять, почему доказательство не работает.

[slavav]

Вы нигде не воспользовались фактом что $f < b + d$. А без этого ограничения можно предъявить дробь "попадающую" в коридор.

-- 26.05.2020, 17:56 --

Fiend в сообщении #1465214 писал(а):

Вроде нет. Если равенство, то априори лежит между. Если же больше, то, условно говоря, можно выйти из ограничивающего интервала

Всё это рассуждение неверно. Можно предъявить дробь с большим знаменателем, которая попадает в интервал. Возможно, вы забыли что можно менять и числитель тоже. Это могло бы сбить вас с толку.

[Null]

Fiend в сообщении #1465214 писал(а):

Вот за этим я и здесь. Никак не могу понять, почему доказательство не работает.

Рассмотрите случай когда дробь попадает то налево, то направо при вашем разбиении.

[Fiend]

slavav, спасибо за разъяснения, попробую доказать правильно.

[Утундрий]

Когда мне говорят, что нечто не находится там-то, я первым делом помещаю его туда.