Дифференциальное уравнение

[King33]

Условие: решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение степени
$ yy' '-y'(1+y')=0 $
$ y'=p(y), y''=p'(y)p(y)$
$yp'p-p(1+p)=0$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &p=0& \\ &yp'-1-p=0& \\ \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &yp'=1+p& \\ \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &\frac{dp}{dy}=\frac{1+p}{y}& \\ \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &\frac{dp}{p+1}=\frac{dy}{y}& \\ \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &\ln|p+1|=\ln|y|+\ln|C|& \\ \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &p=yC_{1}-1& \\ \end{array} \right.$$

$p=-1,y=0:$
$-1=0C_{1}-1$
$-1=-1$
$\frac{dy}{dx}=C_{1}y-1$
Проверка
$y=0:$
$0=0$
$y=1:$
$1=1$
$p=-1$
$y'=-1$
$y=-x+C$
$\frac{dy}{C_{1}y-1}=dx$
$\frac{\ln|C_{1}y-1|}{C_{1}}=x+C_{2}$
$\ln|C_{1}y-1|=C_{1}x+C_{1}C_{2}$
$C_{1}y=e^{C_{1}x}e^{C_{1}C_{2}}+1$
$y=\frac{e^{C_{1}(x+C_{2})}+1}{C_{1}}$
$y=\frac{e^{C_{1}(x+C_{2})}+1}{C_{1}};-x+C$
Но преподаватель сказал, что нужно сделать проверку того, что исключённая функция является решением
Помогите разобраться с этим

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Картинку уберите, пож-ста, наберите формулы здесь
(краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

Помогите разобраться с этим

С чем разобраться? С тем, как проверить решение диф.уравнения?

[King33]

Да. Я не очень понимаю, как проверить исключённую из интегрирования функцию. Я же подставил вместо p, -1 и вместо y, 0. Это разве не является проверкой?

-- 23.05.2020, 21:37 --

Именно проверяются решения тех функций, которые дают деление на 0

[Otta]

Куда подставили?

[King33]

Первая строка после совокупности

-- 23.05.2020, 21:41 --

Первая строка после совокупности

[Otta]

Еще раз - не где читать. Куда подставляли и что получилось.

[King33]

Подставлял в p=yC1-1
Так как p≠-1, y=≠0

[Otta]

King33
Набирайте формулы нормально, модераторы еще не спят.

King33 в сообщении #1464758 писал(а):

Подставлял в p=yC1-1
Так как p≠-1, y=≠0

А Вас просят посмотреть как раз, теряете ли вы решения, записывая $p\ne -1$ и проч.
Какое уравнение Вы решаете? Когда найденная, но выкинутая (или не выкинутая) функция является решением этого уравнения? как проверить? куда подставлять?

[Someone]

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

понижение степени

Понижение порядка.

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

$ y'=p(y), y''=p'(y)p(y)$

Это просто безобразие, что производная по $x$ и производная по $y$ обозначаются одинаково. Как потом понять, где какая производная?

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

$p=-1,y=0:$
$-1=0C_{1}-1$
$-1=-1$

Я не понял, откуда взялись значения $p=-1$ и $y=0$, и зачем Вы их подставляете туда, куда подставляете.

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

$$\left[ \begin{array}{rcl} &y=C& \\ &\frac{dp}{p+1}=\frac{dy}{y}& \\ \end{array} \right.$$

При делении на $p+1$ можете потерять решения, для которых $p+1=0$.

King33 в сообщении #1464723 писал(а):

нужно сделать проверку того, что исключённая функция является решением
Помогите разобраться с этим

Собственно говоря, а если бы Вас попросили проверить, является ли число $x=3$ корнем уравнения $x^3-2x^2-8=0$, то что бы Вы стали делать?
И какую именно функцию Вы исключили?