Производящая функция случайной величины

[pandemodeus]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться в следующем:
Пусть задана производящая функция случайной величины $G_{\xi}(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\xi=k)z^k$, где $k=0,1,2,...$
Утверждается, что данный степенной ряд сходится абсолютно при $|z|\le 1$.
Я не могу это строго доказать.
Мысли такие: можно попробовать применить признак Даламбера и рассмотреть следующее соотношение $\lim\limits_{k \to \infty}|\frac{u_{k+1}(z)}{u_k(z)}|=\lim\limits_{k \to \infty}|\frac{z^{k+1}P(\xi=k+1)}{z^kP(\xi=k)}|=|z|\frac{P(\xi=k+1)}{P(\xi=k)}\le 1$
Но таким образом выходит, что интервал сходимости зависит от отношения вероятностей.
Думал еще воспользоваться теоремой Коши-Адамара, но завис с пределом $\overline{\lim\limits_{k \to \infty}}(P(\xi=k))^{1/n}$
Подскажите, в каком направлении двигаться?

[Brukvalub]

pandemodeus в сообщении #1464603 писал(а):

Подскажите, в каком направлении двигаться?

Мажорантный признак Вейерштрасса.

[pandemodeus]

Brukvalub в сообщении #1464607 писал(а):

Мажорантный признак Вейерштрасса.

То есть при заданных $z$ $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^kP(\xi=k)\le \sum\limits_{k=0}^{\infty}P(\xi=k)=1$, а для $|z|>1$ сходимость ряда не гарантируется, то есть он может как сходиться, так и расходиться, в зависимости от распределения $\xi$, я правильно понимаю?

[mihaild]

Правильно. Пример распределения, при котором ряд расходится (и даже общий член не стремится к нулю - это небольшая подсказка) при любом $|z| > 1$, подобрать сможете?

[Brukvalub]

pandemodeus в сообщении #1464610 писал(а):

То есть при заданных $z$ $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^kP(\xi=k)\le \sum\limits_{k=0}^{\infty}P(\xi=k)=1$,

Нет, на множестве комплексных чисел нет разумного порядка (да и в нашем мире его не стало...)

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1464611 писал(а):

Правильно. Пример распределения, при котором ряд расходится (и даже общий член не стремится к нулю - это небольшая подсказка) при любом $|z| > 1$, подобрать сможете?

Что-то вроде $P(\xi=k)=p(1-p)^k$ ?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1464614 писал(а):

Что-то вроде $P(\xi=k)=p(1-p)^k$ ?

Это сходится при $|z| < \frac{1}{1 - p}$. Годится в качестве примера, что нельзя в общем случае гарантировать сходимость нигде вне единичного круга, но не годится в качестве примера, когда вообще нигде вне единичного круга сходимости нет.

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1464615 писал(а):

Это сходится при $|z| < \frac{1}{1 - p}$. Годится в качестве примера, что нельзя в общем случае гарантировать сходимость нигде вне единичного круга, но не годится в качестве примера, когда вообще нигде вне единичного круга сходимости нет.

Ну в таком случае можно взять, например, распределение Пуассона. То есть $P(\xi=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$. Такой ряд будет сходиться только при $z=0$, а значит для всех $|z|>1$ будет расходиться. Такое распределение годится?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1464620 писал(а):

Такой ряд будет сходиться только при $z=0$

Как это может быть, вы же выше доказали, что при $|z| \leqslant 1$ ряд сходится для вообще любого распределения?

[pandemodeus]

mihaild в сообщении #1464622 писал(а):

Как это может быть, вы же выше доказали, что при $|z| \leqslant 1$ ряд сходится для вообще любого распределения?

Да, действительно, глупость написал, он сходится везде. Пока затрудняюсь привести такой пример, к сожалению. Буду разбираться, спасибо за помощь!