Оценить точность решения интегрального уравнения

[Lia]

Markiyan Hirnyk
https://en.wikipedia.org/wiki/Contraction_mapping

[artempalkin]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464394 писал(а):

Спасибо, посмотрел. Мне непонятно, почему нелинейный интегральный оператор в правой части уравнения удовлетворяет условиям этой общей теоремы, т.е. некоторая его степень является сжатием. Одна из трудностей состоит в вычетаемой постоянной $\frac 1 2$.

Ну вот как бы этот вопрос относительно простой. Нужно доказать, что $\rho (Ax,Ay)<\alpha \rho (x,y)$ для любых точек нашего пространства. Соответственно, рассмотрев $\rho (Ax,Ay)$ с помощью последовательных неравенств этот переход осуществляется ($\frac 12$ сразу же исчезает с горизонта).

-- 21.05.2020, 17:22 --

DeBill в сообщении #1464380 писал(а):

Тогда - все правильно: лучшую константу (годную везде) и не получить. Так что придется работать именно с ней (я полагаю, это от Вас и желают)

А если не секрет, почему вы думаете, что лучшую константу не получить?
Хотя, наверное, на самом деле в каждом переходе можно придумать такие хитрые функции, в которых будет типа строгое равенство или что-то в таком духе... но мне сложно утверждать это однозначно.

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1464408 писал(а):

А если не секрет, почему вы думаете, что лучшую константу не получить?

$0$ и $\varepsilon$
Расстояние между этим двумя функциями как изменится?

[Markiyan Hirnyk]

artempalkin Пожалуйста, определите $\rho$. Вас не затруднит изложить

Цитата:

рассмотрев $\rho (Ax,Ay)$ с помощью последовательных неравенств

подробно?

[artempalkin]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464415 писал(а):

подробно?

Ну, совсем подробно, наверное, затруднит, но начинается все так:
$\rho(Ax,Ay)=\max_{t \in [0,2]}\left| \int\limits_0^t \frac {\sin 2x(s)}{4+s}ds-\int\limits_0^t \frac {\sin 2y(s)}{4+s}ds \right|=...$

-- 21.05.2020, 17:50 --

$\rho(x,y)=\max_{t\in [0,2]}|x(t)-y(t)|$ по определению

[Markiyan Hirnyk]

Спасибо. Это понятно. А вот как дальше? У меня получается оценка $\le \int_0^t \frac { \rho(x,y)} {4+s}\,ds \le \rho(x,y) \log \frac 3 2 $. Это сжатие.

[artempalkin]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464423 писал(а):

$\le \int_0^t \frac { \rho(x,y)} {4+s}\,ds \le \rho(x,y) \log \frac 3 2 $. Это не сжатие

Где-то двойку там вы потеряли, кажется. Возможно, когда разность синусов использовали.
$\ln \frac 32<1$ - это сжатие. И даже $2\ln \frac 32<1$

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Двойку пропустили. Как дальше - это и был вопрос ТС. Вы помогаете решать или спрашивать?

[artempalkin]

Lia в сообщении #1464428 писал(а):

Двойку пропустили. Как дальше - это и был вопрос ТС.

Ну заинтересовал человека вопрос, хотя получается немножко забавно, конечно :)

[Markiyan Hirnyk]

Вы правы. Подзабыл я начала функционального анализа. Кстати, это интегральное уравнение дифференцированием сводится к ОДУ с начальным условием $x(0)=- \frac 1 2$, точное решение которого такое
$x(t)=-\operatorname{\arcctg} \left(\frac{1}{16} (t+4)^2 \operatorname{\ctg} \left(\frac{1}{2}\right)\right) .$

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1464408 писал(а):

почему вы думаете, что лучшую константу не получить?

Ну, TOTAL
уже написал пример, на котором оценка "почти" достигается.
Иногда рассмотрение степеней оператора позволяет "улучшить" константу, но в данном случае из-за нелинейности оператора это непросто (хотя, может, и прокатит).
По поводу оценки погрешностей: ясно, что решение лежит в единичном круге (и даже в круге радиуса $r=\frac{1}{2} +\ln\frac{3}{2}$). Это сразу дает оценку $\left\lVert x_n-x_* \right\rVert \leqslant r\alpha^n$ (или что-то вроде). Ясно, что это шибко перестрахованная оценка: сравните свои приближения с точным решением (которое, как подсказывает Otta, ищется явно - переменные в дифуре разделяются)

[Otta]

artempalkin в сообщении #1464349 писал(а):

Оцените точность решения.

Возьмите стандартное доказательство. Там есть место, где $\rho(x_n, x_{n+p})$ оценивается через расстояние между нулевым и первым приближением. Перейдите к пределу при $p\to\infty$. С учетом непрерывности метрики и существования предела у последовательности $x_n$, получится оценка на $\rho(x_n, x^*)$ , где $x^*$ -- неподвижная точка.

Если воспользоваться полученным неравенством, минимальное количество итераций - 71. Но я думаю, это завышенная оценка. Интересно, насколько :)

[artempalkin]

TOTAL в сообщении #1464414 писал(а):

Расстояние между этим двумя функциями как изменится?

DeBill в сообщении #1464433 писал(а):

Ну, TOTAL
уже написал пример, на котором оценка "почти" достигается.

Пропустил это сообщение от TOTAL.

Ну так да, кажется, это прямое доказательство, что точное значение $\alpha$ нельзя улучшить. Если предположить улучшение, то всегда можно подобрать такое значение $\varepsilon$, что расстояние между функциями $0$ и $\varepsilon$ изменится в большее, чем $\alpha$, количество раз. Это и есть доказательство. Спасибо большое!