Оценить точность решения интегрального уравнения

[artempalkin]

Задача по функану формулируется так:

Докажите единственность решения и найдите два первых приближения (считая, что $x_0(t)=0$) уравнения:

$$x(t)=-\int\limits_0^t \frac {\sin 2x(s)}{4+s}ds-\frac 12$$

Оцените точность решения. Сколько итераций нужно сделать, чтобы получить решение с точностью до $10^{-6}$?

С решением задачи с применением принципа сжимающих отображений проблем нет, первые два приближения найти тоже несложно. Но вот как найти ошибку? Понятно, что это норма какой-то разности или что-то в этом роде (может быть, норма некоторого остаточного члена), но конкретной информации, что нужно делать, не нашел нигде.

[novichok2018]

В методе последовательных приближений есть и оценка ошибки.

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1464366 писал(а):

В методе последовательных приближений есть и оценка ошибки.

Да, но там нужна $\alpha$ из условия Липшица, а я не понимаю, как мне точно найти ее значение. Я могу найти одно из значений, ведя последовательные неравенства (конкретно в этом случае у меня получилось $2\ln\frac 32$), но ведь это значение не обязательно точное, а, так сказать, верхняя граница

[novichok2018]

Поищите в учебниках пример, где уравнение Вольтерра 2го рода решается итерациями с оценкой ошибки.

[Markiyan Hirnyk]

Согласно Вики, метод последовательных приближений применим к уравнениям Фредгольма и Вольтерры 2-го рода, Рассматриваемое интегральное уравнение нелинейно и для него применение метода последовательных приближение надо обосновывать отдельно. Пожалуйста, укажите координаты задачника и точно сформулируйте условие.

[DeBill]

artempalkin
Задача еще пока недоформулирована: не указано, на каком отрезке работаем (на $[0,1]$ ?) , и в каком пространстве ( в $C[0,1]$ ?).

[artempalkin]

DeBill в сообщении #1464377 писал(а):

artempalkin
Задача еще пока недоформулирована: не указано, на каком отрезке работаем (на $[0,1]$ ?) , и в каком пространстве ( в $C[0,1]$ ?).

Речь о $C[0,2]$, я пропустил это условие при переписывании

-- 21.05.2020, 15:24 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464371 писал(а):

Согласно Вики, метод последовательных приближений применим к уравнениям Фредгольма и Вольтерры 2-го рода, Рассматриваемое интегральное уравнение нелинейно и для него применение метода последовательных приближение надо обосновывать отдельно. Пожалуйста, укажите координаты задачника и точно сформулируйте условие.

Сформулировано точно, кроме того, что речь идет о $C[0,2]$. Разве теорема о сжимающих отображениях не доказывается с помощью последовательных приближений? Мне кажется, существование, единственность и сходимость при последовательных приближениях верны не только для "линейных" типов. Другой вопрос про ошибку, конечно.

Это не задачник, а одно из домашних заданий по курсу функана в Бауманском.

-- 21.05.2020, 15:25 --

novichok2018 в сообщении #1464369 писал(а):

Поищите в учебниках пример, где уравнение Вольтерра 2го рода решается итерациями с оценкой ошибки.

Мне бы очень помогло, если бы вы указали мне название подходящего учебника. В Колмогорове я, к примеру, не нашел такого.

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1464368 писал(а):

Да, но там нужна $\alpha$ из условия Липшица, а я не понимаю, как мне точно найти ее значение. Я могу найти одно из значений, ведя последовательные неравенства (конкретно в этом случае у меня получилось $2\ln\frac 32$), но ведь это значение не обязательно точное, а, так сказать, верхняя граница

Тогда - все правильно: лучшую константу (годную везде) и не получить. Так что придется работать именно с ней (я полагаю, это от Вас и желают)

[Markiyan Hirnyk]

artempalkin

Цитата:

Мне кажется, существование, единственность и сходимость при последовательных приближениях верны не только для "линейных" типов.

Пожалуйста, дайте ссылку в обоснование Вашего утверждения для конкретного интегрального уравнения, сформулированного Вами в вопросе. Мне такое обоснование неизвестно. Пожалуйста, укажите координаты задачника, из которого взят пример.

Цитата:

Это не задачник, а одно из домашних заданий по курсу функана в Бауманском.

МГТУ им. Н. Э. Баумана - солидный университет, в котором условия домашнего задания вряд ли записывают на доске.

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1464368 писал(а):

$2\ln\frac 32$), но ведь это значение не обязательно точное, а, так сказать, верхняя граница

Что за верхняя граница? Если это число больше точного (достижимого) значения, то просто оценка требуемого числа итераций тоже будет грубее (больше)

Точнее вопрос про итерации такой: Сколько итераций достаточно сделать, чтобы ...

[artempalkin]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464383 писал(а):

Пожалуйста, дайте ссылку в обоснование Вашего утверждения для конкретного интегрального уравнения, сформулированного Вами в вопросе. Мне такое обоснование неизвестно. Пожалуйста, укажите координаты задачника, из которого взят пример.

Посмотрите, например, Колмогорова стр. 82-83. Там самая общая теорема, вообще интегралы не упоминаются, доказывается с помощью последовательных приближений.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464383 писал(а):

МГТУ им. Н. Баумана - солидный университет, в котором условия домашнего задания вряд ли записывают на доске.

Спасибо вам за желание помочь, выкладываю вариант д/з из которого взял задачу https://ibb.co/zrRk6wZ

-- 21.05.2020, 16:14 --

TOTAL в сообщении #1464386 писал(а):

Что за верхняя граница? Если это число больше точного (достижимого) значения, то просто оценка требуемого числа итераций тоже будет грубее (больше)

Ну в принципе да. Просто я думаю, нет ли способа найти $\alpha$ общим способом. Это можно сделать в "линейном" случае, а в таком... последовательные неравенства, но это как-то грубо, много допущений

[novichok2018]

Только сейчас рассмотрел, что функция под синусом, не сразу видно, может выделить это скобками.
Я думаю (не знаю!), что нужно мажорировать нелинейный оператор по модулю с учётом неравенства для синуса хорошим линейным оператором

$$ |\int_0^t \frac{\sin(2x(s))}{s+4}\,ds|\leq 2\int_0^t \frac{|x(s)|}{s+4}\,ds $$

и доказать сходимость используя эту оценку. Но тут лучше послушать мнение тех, кто это делал.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Посмотрите, например, Колмогорова стр. 82-83. Там самая общая теорема, вообще интегралы не упоминаются, доказывается с помощью последовательных приближений.

Спасибо, посмотрел. Мне непонятно, почему нелинейный интегральный оператор в правой части уравнения удовлетворяет условиям этой общей теоремы, т.е. некоторая его степень является сжатием. Одна из трудностей состоит в вычетаемой постоянной $\frac 1 2$.

[TOTAL]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1464394 писал(а):

Одна из трудностей состоит в вычетаемой постоянной $\frac 1 2$.

Для вопроса про сжимаемость эта (и любая другая константа) не играет никакой роли.

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL Пожалуйста, обоснуйте Ваше утверждение. Предположим, что $\sup_{t\in [0,2] }|x(t)| =\frac 1 {100}$ (возьмем постоянную функцию), тогда норма результата преобразования в правой части интегрального уравнения на этом же отрезке больше или равна, чем $\frac 1 2 -\frac {\sin(0,02)} {2}.$