Обобщение мультинома

[Sasha55512]

Добрый день. Кто нибудь знает есть ли какая-нибудь статья или книга в которой есть обобщение формулы мультинома, я имею ввиду в таком смысле:
$(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{a_{1}+a_{2}+...+a_{s}}$

[kotenok gav]

А зачем может служить такая формула? Просто замените в исходной формуле степень.

[Sasha55512]

Не из практических соображений, интересно именно доказательство, с участием в итоговом выражении степени именно в виде суммы

[Утундрий]

Есть формула для $f(x)$, но вам нужна формула для $f(x+y)$. Трудная задача...

[Sasha55512]

Мне интересно построение, а не формальная замена.

[Утундрий]

Sasha55512 в сообщении #1464209 писал(а):

Мне интересно построение, а не формальная замена.

Используйте рюизацию.

[arseniiv]

Sasha55512
Там совершенно ничего интересного в сравнении с заменой не получится, потому что степени слагаемых не знают о том, что $a = a_1 + \ldots + a_s$.

-- Ср май 20, 2020 22:13:29 --

Хотя вообще конечно можно некую громоздкейшую формулу образовать, используя

$$\binom{n_1 + n_2}m = \sum\limits_{m_1 + m_2 = m} \binom{n_1}{m_1} \binom{n_2}{m_2}.$$

Толку от проделывания такого для $s$ слагаемых и мультиномиальных коэффициентов ожидается как-то немного.

[Sasha55512]

Да, верхний индекс мультноминального коэффициента можно, конечно, так заменить, но что произойдет с нижними мне лично не очень понятно
$\binom{(a_1+a_2+...+a_s)!}{(k_1,k_2,...k_n)}$
т.е по крайней мере я не вижу, что делать с ними, они так же изменяться, но уже не формальной подстановкой

[arseniiv]

Во-первых у вас там с какой-то стати факториал, во-вторых ну и представьте мультиномиальные коэффициенты произведениями биномиальных. Ничего хорошего не получится, но вас уже об этом предупредили.

[Sasha55512]

arseniiv
Спасибо, я там случайно поставил. Я просто надеялся что кому то уже до меня было скучно и такое уже проделали, поэтому и спросил, может кто знает книжку или статью по этому поводу

[arseniiv]

Хорошо вот вам формула:

$$\binom{n_1 + \ldots + n_s}{m_1, \ldots, m_k} = \sum_{\substack{m_{11} + \ldots + m_{1s} = m_1 \\ \vdots \\ m_{k1} + \ldots + m_{ks} = m_k}} \binom{n_1}{m_{11}, \ldots, m_{k1}} \cdots \binom{n_s}{m_{1s}, \ldots, m_{ks}},$$

притом надо дополнительно предполагать, что $\binom n{m_1, \ldots, m_k} = 0$ в случае $m_1 + \ldots + m_k \ne n$, или придётся ещё $s$ равенств $m_{1i} + \ldots + m_{ki} = n_i$ прибавить в ограничения.

Пишется исходя из простейших комбинаторных соображений; куда полезнее от скуки перебирать слабо связные ациклические орграфы с единственным автоморфизмом, хоть картинки красивые будут.

-- Ср май 20, 2020 22:34:47 --

А в книжках или статьях (и даже справочниках по комбинаторике) такое если попадается, то очень редко и не в фокусе, потому что само по себе это просто громоздкое следствие других куда более полезных вещей.

-- Ср май 20, 2020 22:35:52 --

То есть это с ограничениями в виде равенств формула такая большая, а если попытаться преобразовать её к виду, где каждый знак суммы — по одной переменной и имеет конечные верхнюю и нижнюю границы, то получится монстр.

[Sasha55512]

arseniivСпасибо большое