Как доказать равенство рядов Тейлора?

[Nxx]

Дано два ряда Тейлора, взятых в разных точках (0 и -1). Как доказать их равенство или различие? Как доказать, что они определяют одну и ту же функцию?

[Trotil]

Взять один ряд и разложить его по второй точке.
Или перегруппировать скобки (но это сложнее)
Возможно, есть способ проще.

[Nxx]

Цитата:

Взять один ряд и разложить его по второй точке.

Как разлоржить по второй точке? Коэффициенты известны только для первой.

[Gafield]

В такой общей постановке совсем не факт, что задача алгоритмически разрешима. И то, чтобы говорить о разрешимости, надо сформулировть, каков класс наборов коэффициентов рассматривается, каким образом они задаются.

[antbez]

Цитата:

Как доказать их равенство или различие? Как доказать, что они определяют одну и ту же функцию?

Очень интересно! Равенство, видимо, можно алгебраически группировкой слагаемых и перестановками членов ряда. А вот функция? Наверное, лишь в единичных случаях, глядя на коэффициенты разложения и зная, естественно, точку, в окрестности которой мы раскладываем, можно восстановить функцию...

[Nxx]

Если ряды равны - то они определяют одну и ту же функцию. Вопрос в том, как доказать, что ряды равны.

[TOTAL]

Nxx писал(а):

Если ряды равны - то они определяют одну и ту же функцию. Вопрос в том, как доказать, что ряды равны.

Прежде чем доказывать, скажите точно, каким способом заданы коэффициенты в рядах.

[Nxx]

Цитата:

Прежде чем доказывать, скажите точно, каким способом заданы коэффициенты в рядах.

Они вычисляются сложным образом через решение уравнений.

[TOTAL]

Nxx писал(а):

Цитата:

Прежде чем доказывать, скажите точно, каким способом заданы коэффициенты в рядах.

Они вычисляются сложным образом через решение уравнений.

В таком случае ряды сравниваются сложным образом через сравнение коэффициентов.

[Nxx]

TOTAL писал(а):

Nxx писал(а):

Цитата:

Прежде чем доказывать, скажите точно, каким способом заданы коэффициенты в рядах.

Они вычисляются сложным образом через решение уравнений.

В таком случае ряды сравниваются сложным образом через сравнение коэффициентов.

И как их сравнить через коэффициенты?

[bot]

Nxx писал(а):

И как их сравнить через коэффициенты?

Настаиваете на универсальном алгоритме?
Вот он: сравниваете по очереди - первый с первым, второй со вторым, ... может быть наклюнется индукция, но для этого надо знать, каким именно сложным образом заданы коэффициенты в рядах.

[Gafield]

Цитата:

сравниваете по очереди - первый с первым, второй со вторым, ... может быть наклюнется индукция, но для этого надо знать, каким именно сложным образом заданы коэффициенты в рядах.

Чтобы сравнивать, их надо пересчитать. А как, спрашивается? Если радиусы сходимости рядов достаточно велики, то можно надеяться, если способ задания коэф. достаточно прост, подставить в ряд для одной точки значение другой точки (нулевой коэффициент) и т.д. Однако между 0 и -1 могут быть особые точки. Полюса, скажем, или предельные точки полюсов и т.д. Тогда подставлять точку -1 в разложение в нуле не получится - ряд будет расходиться.

[Nxx]

Способ задания коэффициентов сложен, у меня даже не получилось рассчитать производные выше 4-й для разложения в 0, а для второго разложения (в -1) получил вообще только 3 производные - система ругается на нехватку памяти для расчета.

Между 0 и -1 особых точек нет (график гладкий). Очевидно также, что оба разложения сходятся и в 0 и в -1.

[Gafield]

Графики гладкие где? А то вот функция $1/(1+x^2)$ тоже гладкая и между нулем и -1 особых точек нет. А ряд в -1 расходится.
Очевидно по трем коэффициентам или есть еще соображения?

Если две функции - решения одного гладкого дифура порядка $n$ на каком-то интервале, причем можно показать, что оба удовлетворяют в какой-то точке одним и тем же $n$ начальным условиям, то, по теореме единственности, они совпадают.

[Nxx]

Нет, уравнения-то как раз, разные. Но похожие. И графики функций похожи.