Сложности с определенным интегралом (метод трапеций)

[DmitriyLutsenko]

Brukvalub в сообщении #1463513 писал(а):

DmitriyLutsenko в сообщении #1463493 писал(а):

Исследовать на разрывы?
Доказать, что интеграл сходится или расходится?

Если обнаружена такая конфликтная точка, то добавить еще узел, находящийся почти рядом с этой точкой ?

Есть плодотворная идея следовать Ленинским заветам: "Образованным человеком Коммунистом можно стать лишь тогда, когда обогатишь свою память знаниями всех тех богатств, которое выработало человечество"!
Так может, прямо сейчас и начать становиться коммунистом образованным человеком с изучения методов численного интегрирования, оценок его точности и применимости этого метода, читая учебники?
А не гнать отсебятину, изобретая не способный двигаться велосипед с кривыми колесами?

Спасибо, а есть не менее плодотворная идея следовать сетевому этикету: "Игнорирование корректного вопроса и флуд является дурным тоном."

Я попрошу заметить, что Ваш ответ не несет практической пользы. С тем же успехом можно было написать "Учи математику, гугли, пролетарий". А тут решили так тонко потроллить, что даже, наверное, потратили время на поиск нужной цитаты.

Просьба всем, кто решит отправлять к гугл и учебникам: делайте это, раз уж решились, пожалуйста, с пользой для решения вопроса.
Ссылки/названия учебников/нужные темы. Как говорится "Не согласен - критикуй, но критикуешь - предлагай......."

Я вот лично могу вспомнить "Конспект лекций по высшей математике" Письменного Д. Глава 40.2. "Интеграл от разрывной функции".

Больше на сообщения, подобные тому, что оставил уважаемый форумчанин Brukvalub, я реагировать не буду.

Спасибо большое за понимание.

[wrest]

DmitriyLutsenko
Тут суть в том, что есть два вопроса которые надо разделить
1. Теория -- определенные интегралы, в том числе несобственные (сходимость).
2. Теория (численные методы: собственно методы, оценки их сходимости, погрешости).
3. Программирование (как реализовать).

Несобственные интегралы ведь, действительно, могут и расходиться, например $\int \limits_1^\infty \dfrac{1}{x}dx$ расходится -- как вы это будете оценивать в программе? При том что $\int \limits_1^\infty \dfrac{1}{x^{1,01}}dx$ уже сходится (к примерно сотне).

Конечно, для "хороших" функций типа параболы, особых проблем с трапециями нет, опять же с учетом того, хотите ли вы просто запрограммировать метод трапеций, или хотите чтобы и результат вычислений был контролируемым...

А так, задача "посчитайте несобственный интеграл методом трапеций с 4 узлами" действительно -- звучит весьма необычно, с каким-то подвохом, неясно что от вас хотят. Но может быть вам ясно? :)

[DmitriyLutsenko]

wrest в сообщении #1463555 писал(а):

DmitriyLutsenko
Тут суть в том, что есть два вопроса которые надо разделить
1. Теория -- определенные интегралы, в том числе несобственные (сходимость).
2. Теория (численные методы: собственно методы, оценки их сходимости, погрешости).
3. Программирование (как реализовать).

Несобственные интегралы ведь, действительно, могут и расходиться, например $\int \limits_1^\infty \dfrac{1}{x}dx$ расходится -- как вы это будете оценивать в программе? При том что $\int \limits_1^\infty \dfrac{1}{x^{1,01}}dx$ уже сходится (к примерно сотне).

Конечно, для "хороших" функций типа параболы, особых проблем с трапециями нет, опять же с учетом того, хотите ли вы просто запрограммировать метод трапеций, или хотите чтобы и результат вычислений был контролируемым...

А так, задача "посчитайте несобственный интеграл методом трапеций с 4 узлами" действительно -- звучит весьма необычно, с каким-то подвохом, неясно что от вас хотят. Но может быть вам ясно? :)

Задание дано в весьма сухом и сжатом виде:
"Напишите на языке программирования алгоритм, решающий одним из методов численного интегрирования:

Метод трапеций,
метод Симпсона (парабол),
треугольников.

Входные данные:

количество начальных узлов,
подынтегральная функция,
пределы интегрирования.

Выходные данные:

значение определенного интеграла,
сколько узлов стало

[Евгений Машеров]

На самом деле есть вопрос №0. "Для себя делаете или под заказ". И если "для себя" - надо идти к преподавателю и уточнять задачу. А если "под заказ" - то уточнять должен тот, для кого делаете. Если сможет.
Уточнить надо:
1. Верно ли записано условие (возможно, всё дело лишь в описке в пределах интегрирования).
2. На отрезке интегрирования возникает извлечение корня из отрицательного числа - что ожидается, как правильное решение, сообщение об ошибке, замена нулём или ответ в комплексных числах?
3. На отрезке интегрирования возникает деление на ноль - что ожидается, исследование сходимости, главное значение интеграла, или сообщение об ошибке?
Ответить на эти вопросы тут не смогут, это прерогатива преподавателя. А когда ответят - можно обратиться за помощью. Насколько я понимаю, только в отношении деления на ноль могут быть разные варианты, первый и второй вопрос будут отвечены преподавателем, а с делением на ноль можно по-разному обходиться. Например, представить в виде аналитически берущегося несобственного интеграла и неберущейся, но и не несобственной поправки, которую численно.

[wrest]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463562 писал(а):

Выходные данные:
значение определенного интеграла,
сколько узлов стало

А, то есть предполагается, что количество узлов может увеличиться в процессе?
Ну это несколько меняет дело, кмк. И что вы думаете по этому поводу (увеличения количества узлов)?

[Brukvalub]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Я вот лично могу вспомнить "Конспект лекций по высшей математике" Письменного Д. Глава 40.2. "Интеграл от разрывной функции".

Это сильная книга! Можно сказать, "матерь всех учебников по математическому анализу"!

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Просьба всем, кто решит отправлять к гугл и учебникам: делайте это, раз уж решились, пожалуйста, с пользой для решения вопроса.
Ссылки/названия учебников/нужные темы. Как говорится "Не согласен - критикуй, но критикуешь - предлагай......."

Тогда уж сразу пишите "не нравится мой подход - выкладывайте сюда свой листинг программы".
Не верю, что вас ничему заранее не учили, а вот так сразу послали писать программу.
Вам должны были читать лекции по численным методам, в рамках которых должны были раскрыть тему про особенности численного интегрирования. Это огромный кусок численных методов, использующий весьма тонкие теоремы математического анализа.
Например, стандартные методы численного интегрирования приспособлены ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО для обслуживания определенного интеграла Римана.
При численном интегрировании сходящегося несобственного интеграла сначала обычно вырезают окрестности особенностей, предварительно добившись того, чтобы такое вырезание не нарушило заданной точности вычисления, и только потом применяют процедуры численного интегрирования.
Вы же решили брякнуть что придется, а уж потом умные люди доработают напильником, да еще и взялись учить других хорошим манерам...

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Больше на сообщения, подобные тому, что оставил уважаемый форумчанин Brukvalub, я реагировать не буду.

Видимо, в этом месте мне полагалось зарыдать от горя? Ухожу вытирать слезы.

[Евгений Машеров]

Да, и о пользе консультаций. Как (бывший) преподаватель, я не исключаю возможности халтуры со стороны выдавшего задание. Подынтегральную функцию придумал, а пределы интегрирования назначил "с потолка", лишь бы у гг. студентов все задания разные были, не озаботившись проверить, чтобы не было ни деления на ноль, ни мнимых чисел. И ответ преподавателя может состоять в поправке исходного задания (умного - также в похвале "за внимательность").
А вот особенность в пределе интегрирования может быть и специально заложенной трудностью. Но преодоление этой трудности не программистская проблема, а математическая. Доказать, что интеграл сходится. А "чисто программистское", если сходится, уже будет схема дробления шага при приближении к особенности.

[DmitriyLutsenko]

Евгений Машеров в сообщении #1463586 писал(а):

Да, и о пользе консультаций. Как (бывший) преподаватель, я не исключаю возможности халтуры со стороны выдавшего задание. Подынтегральную функцию придумал, а пределы интегрирования назначил "с потолка", лишь бы у гг. студентов все задания разные были, не озаботившись проверить, чтобы не было ни деления на ноль, ни мнимых чисел. И ответ преподавателя может состоять в поправке исходного задания (умного - также в похвале "за внимательность").
А вот особенность в пределе интегрирования может быть и специально заложенной трудностью. Но преодоление этой трудности не программистская проблема, а математическая. Доказать, что интеграл сходится. А "чисто программистское", если сходится, уже будет схема дробления шага при приближении к особенности.

Спасибо большое Вам за совет, Я уточню у преподавателя, что ему требуется.

[DmitriyLutsenko]

Brukvalub в сообщении #1463577 писал(а):

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Я вот лично могу вспомнить "Конспект лекций по высшей математике" Письменного Д. Глава 40.2. "Интеграл от разрывной функции".

Это сильная книга! Можно сказать, "матерь всех учебников по математическому анализу"!

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Просьба всем, кто решит отправлять к гугл и учебникам: делайте это, раз уж решились, пожалуйста, с пользой для решения вопроса.
Ссылки/названия учебников/нужные темы. Как говорится "Не согласен - критикуй, но критикуешь - предлагай......."

Тогда уж сразу пишите "не нравится мой подход - выкладывайте сюда свой листинг программы".
Не верю, что вас ничему заранее не учили, а вот так сразу послали писать программу.
Вам должны были читать лекции по численным методам, в рамках которых должны были раскрыть тему про особенности численного интегрирования. Это огромный кусок численных методов, использующий весьма тонкие теоремы математического анализа.
Например, стандартные методы численного интегрирования приспособлены ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО для обслуживания определенного интеграла Римана.
При численном интегрировании сходящегося несобственного интеграла сначала обычно вырезают окрестности особенностей, предварительно добившись того, чтобы такое вырезание не нарушило заданной точности вычисления, и только потом применяют процедуры численного интегрирования.
Вы же решили брякнуть что придется, а уж потом умные люди доработают напильником, да еще и взялись учить других хорошим манерам...

DmitriyLutsenko в сообщении #1463553 писал(а):

Больше на сообщения, подобные тому, что оставил уважаемый форумчанин Brukvalub, я реагировать не буду.

Видимо, в этом месте мне полагалось зарыдать от горя? Ухожу вытирать слезы.

Может, Вы и поступаете логично, мне действительно надо сесть за ВышМат и ЧислМеты и освежить память. Вот только, увы, Вы поступаете неправильно. Подобное "токсичное" отношение заставит человека обострить конфликт или загнаться по поводу "Terra incognita" в знаниях. Как сметь задавать вопросы, если каждый третий будет писать а-ля "Гугл заблокирован? Учебники сожгли?".
Вариться в собственном соку по этой проблеме у меня уже сил нет, да и времени не столь много (Это не желание вызвать жалость, просто констатация факта. Мои проблемы, если я не успею сдать Численные методы), поэтому я и обратился на форум с таким "глупым" вопросом.

Тем не менее, благодарю Вас за информацию об интеграле Бернхарда Римана.
Приму ее к сведению.

[wrest]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463622 писал(а):

Вариться в собственном соку по этой проблеме у меня уже сил нет, да и времени не столь много (Это не желание вызвать жалость, просто констатация факта. Мои проблемы, если я не успею сдать Численные методы), поэтому я и обратился на форум с таким "глупым" вопросом.

Вам ещё совет, сейчас и на будущее. Чтобы получить правильную помощь, надо дать больше контекста:
1. Учебная ли это задача и по какому предмету.
2. Ваш уровень образования (такой-то курс такого-то учреждения -- например 1 курс технического вуза по специальности такой-то).
3. Что вы понимаете, а чего нет (в данном случае -- о пределах, интегральных суммах, определенных и несобственных интегралах только слышали или уже прослушали сответствующий курс матана, о теории функций комплексной переменной только слышали или в прослушали курс), чтобы говорить с вами на примерно одном языке.
4. Точная и полная фоимулировка задачи. Чем точнее дадите задачу тем лучше, в вашем случае упоминание о том, что надо выдать "сколько узлов стало" -- весьма существенное.

[Brukvalub]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463622 писал(а):

Вариться в собственном соку по этой проблеме у меня уже сил нет, да и времени не столь много (Это не желание вызвать жалость, просто констатация факта. Мои проблемы, если я не успею сдать Численные методы), поэтому я и обратился на форум с таким "глупым" вопросом.

Судя по задаче, Ваш препод далеко не дурак и лентяй, как здесь предположил уважаемый Евгений Машеров, а мудрый человек, который всего лишь одной задачей проверяет понимание теории и наличие навыков программирования.
Если Вы не владеете теорией, не понимаете того, что в принципе невозможно написать универсальной процедуры интегрирования для несобственных интегралов такого вида, и пытаетесь с наскока "все быстренько порешать", то как можно Вам ответить?
Я вижу три пути:
1. Путь праздного специалиста на самоизоляции: от нечего делать набросать Вам подробный алгоритм решения, учитывающий особенности именно той функции, которая задана и т.п., исписав пару стр. и разжевав пяток параграфов из учебников.
2. Путь мудрого наставника молодежи: рассказать Вам, что задача непроста и нужно много чего еще выучить, чтобы ее решить.
3. Путь самурая: пройти мимо, не принимая бой, если нет крайней необходимости.
Я выбрал п.2.
Кстати, а почему Вы избегаете неудобных Вам вопросов типа этого:

wrest в сообщении #1463626 писал(а):

Чтобы получить правильную помощь, надо дать больше контекста:
1. Учебная ли это задача и по какому предмету.
2. Ваш уровень образования (такой-то курс такого-то учреждения -- например 1 курс технического вуза по специальности такой-то).
3. Что вы понимаете, а чего нет (в данном случае -- о пределах, интегральных суммах, определенных и несобственных интегралах только слышали или уже прослушали сответствующий курс матана, о теории функций комплексной переменной только слышали или в прослушали курс), чтобы говорить с вами на примерно одном языке.
4. Точная и полная фоимулировка задачи. Чем точнее дадите задачу тем лучше, в вашем случае упоминание о том, что надо выдать "сколько узлов стало" -- весьма существенное.

[Someone]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463622 писал(а):

за информацию об интеграле Бернхарда Римана.

Это была информация не об интеграле Римана, а об упомянутых в задании методах численного интегрирования. За пределами класса функций, имеющих на промежутке интегрирования достаточное количество непрерывных производных (включая концы промежутка), эти методы работают плохо. В частности, ваша подынтегральная функция имеет точки разрыва, в окрестности которых она не ограничена. Это и вызвало кучу придирок и вопросов, тем более, что выглядит это так, будто Вы точную формулировку задания сообщать не хотите.
Интегрирование комплексной функции имеет свои особенности. При $1<x\leqslant 2$ подынтегральная функция имеет $4$ различных значения. Мы, конечно, могли бы переписать ваш интеграл в виде

$$\int_0^1\frac {dx}{x^{1/2}{(1-x)^{3/4}}}+\frac 1{(-1)^{3/4}}\int_1^2\frac{dx}{x^{1/2}{(x-1)^{3/4}}},$$

но что такое $\frac 1{(-1)^{3/4}}$? Эта штука тоже имеет $4$ различных значения, и в условии тем или иным способом должно быть указано, какое из них нужно взять.

DmitriyLutsenko в сообщении #1463562 писал(а):

Метод трапеций,
метод Симпсона (парабол),
треугольников.

О методе "треугольников" не слышал. Метод прямоугольников?

DmitriyLutsenko в сообщении #1463562 писал(а):

Выходные данные:
значение определенного интеграла,
сколько узлов стало

Если сказано "вычислить с четырьмя узлами", то вопрос "Сколько узлов стало?" является бессмысленным. Если же этот вопрос считать осмысленным, то в задании должно быть сказано что-то типа "вычислить интеграл с погрешностью, не превосходящей …", где вместо многоточия указано некоторое число (например, $0{,}001$. Но тогда, если ваши задачи относятся к начальному уровню, то подынтегральные функции должны быть достаточно хорошими: для методов трапеций и прямоугольников они должны на всём отрезке $[a,b]$ иметь непрерывную вторую производную, а для метода Симпсона — непрерывную четвёртую производную (иначе преимущества этого метода по сравнению с двумя другими будут не видны), а программа вычисления интеграла должна каким-то образом оценивать полученную погрешность. Если же речь идёт действительно о серьёзных задачах, то ваше упрямое нежелание обращаться к литературе выглядит странно.

В общем, успокойтесь и давайте необходимую информацию. И уточните у преподавателя, что делать с точками разрыва и с комплексными функциями.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Метод треугольников - частный случай метода прямоугольников, когда прямо равно трём.

[TOTAL]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463562 писал(а):

Выходные данные:

значение определенного интеграла,
сколько узлов стало

Узлы кто-то добавляет и отнимает? Расскажите об этом.

[Евгений Машеров]

Brukvalub в сообщении #1463651 писал(а):

Ваш препод далеко не дурак и лентяй, как здесь предположил уважаемый Евгений Машеров

Извините, но я не декан и не судебный психиатр, и не уполномочен квалифицировать людей по интеллекту, ниже по добросовестности выполнения преподавательского долга, а лишь предлагаю сперва уточнить, нет ли в задании ошибки. Которая продукт не злого умысла, а необходимости очень срочно выдать задания на весь поток. И уточнить у самого преподавателя.

-- 18 май 2020, 19:12 --

TOTAL в сообщении #1463670 писал(а):

Узлы кто-то добавляет и отнимает? Расскажите об этом.

А что необычного? Автоматический выбор шагов интегрирования.
http://crecs.ru/ru/numlabs/help/Integr/index.html
Кстати, по ссылке и про особенности...