misha.physicsТут может не хватать математической точности. Дифференциал функции

в точке

— это линейная функция (но равная нулю в нуле, а не как в школе), которая отображает некоторое число

в некоторое число

. Плюс к этому небольшой вольностью языка говорят о дифференциале независимой переменной, понимая его как функцию тождественную,

, потому что это и есть дифференциал тождественной функции

, в любом иксе одинаковый. Для случая функций одной переменной дифференциал уместно и визуализировать как это сделали бы с линейной функцией — как её график, прямую, а именно прямую, параллельную касательной к интересующей функции в интересующей точке, но проходящую через ноль (и это прохождение можно перестать рассматривать, потому что есть простая лемма*).
* Лемма: если
и
, то
для какой-то там константы
. То есть вместо линейных функций, при которых
, когда нас интересует только их композиция, мы можем рассматривать классы эквивалентности всех линейных функций, сдвинутых на произвольную константу — эти сдвиги на константу ничего не испортят.Теперь возьмём (точнее, получим) теорему об инвариантности и всяком таком и запишем интересующие дифференциалы, аккуратно обозначая всё разными переменными, и притом я не буду поминать приращения всуе, говоря о самих дифференциалах в точке как функциях. Надеюсь, вы сочтёте это полезным или хотя бы освежающим.
Пусть

и

(

— числа,

— функции). Тогда

умножает приращение на

;

умножает приращение на

. Теперь вспомним, что мы заявили, что

, тогда предыдущее в частности значит и что

умножает на

. В свою очередь, отсюда получим, что
произведение 
умножает на

.

— это не просто какое-то произведение, а композиция дифференциалов,

; а справа у нас

не просто какое-то произведение, а

, то есть

умножает на то же, на что умножает и

.
Обозначим наконец

, то есть

, и получим

, или если нам надоело видеть композицию, с обычным умножением (дифференциала на число)

, и если пользоваться языком немного нестрого, это запишется как

. Притом же с нами остался и тот факт, что

действует умножением на

, что нестрого запишется как

. Вот и все тёмные места (почти, но дальше я бы предложил не копать).
-- Сб май 16, 2020 22:32:43 --Пожалуй, скорее, первое. Чтобы считать производные, даже знать и понимать определение дифференциала, по моему мнению, необязательно.
О, ну это пока. Пока известна только производная функции одного аргумента, кажется вполне симпатичным, что это число, и также кажется, что дифференциал какой-то громоздкий и непонятный. Зато если взять производную какой-то более интересной функции, например чтобы

, то окажется, что дифференциал, как линейное отображение, очень даже кстати, а его матрицу, матрицу Якоби, ну иногда её производной даже не зовут, хотя это зря. Одними частными производными не обойдёшься, тем более что
дифференцируемость функции вообще как полезное свойство связана именно с существованием или несуществованием дифференциала, а с частными производными она связана непросто (и неспроста, что можно видеть, выразив их через дифференциал).
-- Сб май 16, 2020 22:35:29 --И вот там выше композиция у меня неспроста тоже, в общем случае дифференциал композиции будет композицией дифференциалов.
-- Сб май 16, 2020 22:40:49 --(А тут wishful thinking, верить не обязательно)
То есть немалая часть проблемы может быть в том, что людям (авторам учебных текстов) лень определить удобные операции сразу над линейными функциями, и записать всякие теоремы о дифференциалах с ними без путающих
разных переменных для приращений и наверно без

. Ну и получается кошмар. Впрочем многие учебники матанализа как раз вроде прекрасно обходятся с дифференциалами, но не всем везёт на них и не всем они идут (прискорбно, но никакого простого решения в условиях массового образования вроде нет).