Свойства симметрии систем из N фермионов

[anyon]

Добрый день, глубокоуважаемые форумчане. У меня возник вопрос касательно того, что знает каждый младшекурсник, но в чем я, тем не менее, абсолютно запутался. Вопрос касается свойств симметрии векторов состояния систем тождественных фермионов. Постановки задачи могу выделить две, но они в целом эквивалентны друг другу с некоторыми оговорками.

1). Традиционная формулировка модели Изинга. Рассмотрим атомы, которые находятся в узлах пространственной решетки. Считаем, что внешние электроны слабо связаны с ядром и образуют некий "свободный газ", который нас не интересует. Делаем акцент на эффектах, связанных с внутренними электронами. Для простоты, пусть каждый атом имеет лишь один внутренний электрон в $s$-состоянии (т.е. без орбитального момента), тогда задача сводится к системе $N$ спинов $1/2$.
2). Традиционная формулировка задач флюоресценции и сверхфлюоресценции. Пусть имеется $N$ одноэлектронных атомов, которые находятся в резонаторе с частотой, резонансной с каким-либо атомным переходом. Тогда приближенно атомы можно рассматривать как двухуровневые системы (основное и возбужденное состояние), и задача сводится к системе $N$ псевдоспинов $1/2$.

Если тензорно перемножать пространства $N$ двухуровневых систем, то в полученном пространстве размерности $2^N$ можно выделить подпространство максимального спина (псевдоспина) $J = N/2$. Базис этого подпространства называют состояниями Дике. Например, для трех частиц максимальный псевдоспин (в литературе иногда называют cooperation number) равен $3/2$, и базис соответствующего подпространства образован состояниями Дике:

$ |0\rangle = |000\rangle $,

$ |1\rangle = \dfrac{|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle}{\sqrt 3} $,

$ |2\rangle = \dfrac{|101\rangle + |011\rangle + |110\rangle}{\sqrt 3}$,

$ |3\rangle = |111\rangle$,

с проекциями спина (псевдоспина): $-3/2$, $-1/2$, $1/2$ и $3/2$ соответственно (прошу прощения, если пишу очевидные вещи). Как можно видеть, эти состояния симметричны относительно перестановки любых пар частиц, что справедливо и в общем для состояний $N$-частичного ансамбля $|M\rangle$, где $M=0, \ldots, N$. Поставленные задачи зачастую моделируются похожими Гамильтонианами, которые обладают такими же свойствами симметрии и в отсутствии взаимодействия диагональны в базисе Дике.

Что мне не ясно: общеизвестный и доказанный факт, что состояние системы тождественных частиц обладает определенными свойствами симметрии при перестановке пары частиц. Для бозонов --- симметричные, для фермионов --- антисимметричные. При этом, казалось бы, состояние Дике системы из $N$ фермионов являются симметричными относительно любых перестановок частиц, независимо от того, является максимальный спин (псевдоспин) $N/2$ целым или полуцелым. И никакой антисимметрии связанной с тем, что мы работаем с фермионами.

Какие были мысли:
1). ансамбль из $N$ частиц типа ядро + фермион не эквивалентен ансамблю из $N$ чистых фермионов. С другой стороны, принцип Паули безупречно работает при заполнении оболочек внутри каждого отдельного атома, а волновые функции многоэлектронных атомов строятся с опорой на теорему о связи спина со статистикой.
2). электроны в атомах не тождественны в том смысле, что каждый из них локализован около своего ядра, то есть не всегда можно ставить знак эквивалентности между неразличимыми частицами и состояниями, которые симметричны относительно перестановок частиц (возможно, сказал чушь). С другой стороны, в литературе рассматривают точечные системы (размер системы много меньше резонансной длины волны) и пренебрегают электростатическими межатомными взаимодействиями. В таких условиях нельзя сказать, что данный электрон локализован около определенного ядра, и электроны действительно неразличимы.
3). Вектор состояния симметричен, а вот волновую функцию нужно строить антисимметричной с учетом статистики. Но тогда состояния типа $|N\rangle$ не должны существовать, ведь все спины (псевдоспины) находятся в состоянии спин-вверх, и при построении волновой функции по определителю Слетера неизбежно будет ноль. Но это может значит, что детерминант Слетера -- очень грубое приближение, которое не учитывает перепутанность (невозможность тривиальной факторизации состояния на одночастичные) в такой многочастичной системе.

Тогда в чем дело, почему все-таки состояния системы $N$ фермионов проявляют бозонные свойства, и почему это не противоречит теореме о связи спина со статистикой? Как грамотно разрешить этот "парадокс"?

Очень прошу помочь мне разобраться в этом казалось бы "парадоксе", абсолютно уверен, что где-то сидит фундаментальное непонимание с моей стороны или пробел в знаниях. Спасибо!

[warlock66613]

anyon в сообщении #1463189 писал(а):

При этом, казалось бы, состояние Дике системы из $N$ фермионов являются симметричными относительно любых перестановок частиц

Они не являются симметричными относительно перестановок частиц, но чтобы это увидеть нужно занумеровать электроны. Тогда если вы возьмёте состояние $|0_0 0_1 0_2 \rangle$, где индексы $0, 1, 2$ - это номера электронов в соответствующем узле решётки, и антисимметризуете, например, по электронам $0$ и $1$, то получится $(1/\sqrt 2)(|0_0 0_1 0_2 \rangle - |0_1 0_0 0_2 \rangle)$, что, конечно, не ноль. На самом деле по факту запись $|000\rangle$ подразумевает состояние, уже антисимметризованное по всем частицам:

$$|000\rangle \equiv (1/\sqrt 6)(|0_0 0_1 0_2 \rangle - |0_1 0_0 0_2 \rangle + |0_1 0_2 0_0 \rangle - \ldots).$$

(Справа - тот самый определитель Слэтера.)

Кстати, именно чтобы иметь возможность приписать такие индексы - без которых антисимметризация даст ноль - трём кваркам, собранным в барион (где, в отличие от случая выше, нет решётки с узлами), и был придуман цвет кварков.

[anyon]

Спасибо за ответ.

warlock66613 в сообщении #1463193 писал(а):

Они не являются симметричными относительно перестановок частиц, но чтобы это увидеть нужно занумеровать электроны.

Да, действительно, если дополнительно пронумеровать электроны, то возникают индексы, по которым можно антисимметризовать каждое слагаемое в коллективных состояниях $|M\rangle$. Тогда "парадокс" разрешен, ведь симметрия относительно перестановок, о которой я рассуждал в первом сообщении, имеется не для фермионов, как я ошибочно полагал, а для узлов (атомов) в целом. Спасибо большое за разъяснение, Вы очень помогли!