нормальный канонический вид матрицы квадратичной формы

[Paul Ivanov]

Возник такой вопрос, выходящий, как мне кажется, далеко за рамки известного мне. Для любого ли поля $P$ и ненулевых элементов $a,b \in P$ существуют такие $x,y \in P$, что $ax^2+by^2=1 \vee ax^2+by^2=-1$. Перебрал варианты известных мне полей и получил, что на конечных полях вычетов по модулю простого p всё получается, для поля вещественных и комплексных чисел, очевидно, что всё получается (причем для поля вещественных чисел всё получается только в одном случае, либо для 1 либо для -1). Для поля рациональных чисел доказать не получилось, но похоже всё сводится к случаю, когда $n_1k_1+n_2k_2=\pm n_3k_3$, где $n_1,n_2,n_3$ некие целые числа с определёнными свойствами, полученные из числителей и знаменателей рациональных дробей $a$ и $b$, a $k_1,k_2,k_3$ - квадраты целых чисел, которые, насколько я понял из нескольких конкретных подстановок, (доказать не смог, в диофантовых уравнениях я профан), всегда можно подобрать для любых целых $n_1,n_2,n_3$ (вырожденные случаи не рассматривал, возможно есть какие-то тривиальные исключения).
Верно ли это для всех полей или неверно - так почувствовать и не удалось.
Если верно, то как доказать для всех полей (прям всех всех), это же получается нужно использовать общие аксиоматические свойства полей и никакие конкретные поля тут не помогут (или помогут)?
Если неверно, то пример бы... или наводку, как пример разработать.
p.s. возник вопрос в связи с попыткой перевести матрицу квадратичной формы произвольного поля в нормальный канонический вид (где на главной диагонали только 1 и -1, ну и нули в зависимости от ранга, а так: на всех остальных местах нули). Поэтому иначе вопрос можно поставить так: верно ли для любого поля (кроме $charP=2$) и любой квадратичной формы над этим полем, что матрицу этой квадратичной формы можно (меняя базис) перевести в нормальный канонический вид?

[Slav-27]

Paul Ivanov в сообщении #1462358 писал(а):

Для поля рациональных чисел доказать не получилось

Давайте перебирать $a<b$. Если $a=1$ -- тут всё понятно. Если $a=2, b=2$, то тоже всё понятно: $2+2=4$. Дальше $a=2,b=3$ -- ?..

[Paul Ivanov]

Всё, супер, проглядел. Действительно, при a=2, b=3 выходит противоречие чётной нечетности, так что выходит поле рациональных чисел является тем самым контрпримером. Спасибо)))

[Slav-27]

Paul Ivanov в сообщении #1462358 писал(а):

возник вопрос в связи с попыткой перевести матрицу квадратичной формы произвольного поля в нормальный канонический вид (где на главной диагонали только 1 и -1, ну и нули в зависимости от ранга, а так: на всех остальных местах нули). Поэтому иначе вопрос можно поставить так: верно ли для любого поля (кроме $charP=2$) и любой квадратичной формы над этим полем, что матрицу этой квадратичной формы можно (меняя базис) перевести в нормальный канонический вид?

Соответственно, так -- нет. Но всегда можно привести к диагональному виду. Дальше вопрос: когда 2 диагональные матрицы задают эквивалентные квадратичные формы? Вообще вопрос сложный. Над $\mathbb Q$ есть полная классификация, но она не очень простая. Посмотрите Серр, Курс арифметики: там первые 4 главы как раз про это.

А над $\mathbb Z$ классификация квадратичных форм вообще неизвестна (только частично).